Rozwiązać w zb. liczb naturalnych

[luna1518]

"Rozwiąż równanie, w zbiorze liczb naturalnych: \(\displaystyle{ xyz=x+y+z}\)"
Jak to rozwiązać?

[Lorek]

Załóżmy na początek, że \(\displaystyle{ x\le y\le z}\). Jeśli znajdziemy wszystkie rozwiązania spełniające ten warunek, to pozostałe będą ich permutacjami.
Jeśli \(\displaystyle{ x\ge 2}\) to \(\displaystyle{ xyz\ge 2yz=yz+zy\ge 2z+2y=z+y+(z+y)>z+y+x}\)
czyli nie ma rozwiązań. Zatem musi być \(\displaystyle{ x=1}\), a wtedy mamy już proste do rozwiązania równanie \(\displaystyle{ yz=1+y+z}\)

[luna1518]

Nie za bardzo rozumiem sposób rozwiązania, czy musimy zakładać ze \(\displaystyle{ x\le y\le z}\)

i nie rozumiem zapisu tych nierówności poniżej

[Lorek]

Nie, nie musimy zakładać, ale to nam pozwala rozwiązać to w prostszy sposób. A jakby się zdarzyło, że np \(\displaystyle{ x>y}\) to możemy zamienić je ze sobą - równanie się nie zmieni, a doprowadzimy to do pożądanej nierówności. Tylko jak już rozwiążemy to równanie z tym założeniem, to musimy pamiętać o tym, że jeśli rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) to jest także \(\displaystyle{ (y_0,z_0,x_0)}\) i inne permutacje.

i nie rozumiem zapisu tych nierówności poniżej

\(\displaystyle{ x\ge 2 \Rightarrow xyz\ge 2yz}\)? No to masz nierówność \(\displaystyle{ x\ge 2}\) i mnożysz ją stronami przez \(\displaystyle{ yz}\), no i dalej podobnie.