Jeśli \(\displaystyle{ a>1}\) zaś \(\displaystyle{ k>1}\) jest nieparzyste to \(\displaystyle{ a^k+1}\) jest podzielne przez jakąś liczbę nieparzystą >1.
np. \(\displaystyle{ a^7 + 1 =(a+1)( a^6 - a^5 + a^4 - a^3+ a^2 - a + 1 )}\)
Zatem \(\displaystyle{ (2^a -1)^k+ 1 \neq 2^b}\).
Jesli \(\displaystyle{ k>1}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ 2^a=A}\) jest podzielne przez 4.
tj. \(\displaystyle{ (A-1)^k - 2^b +1}\) daje przy dzieleniu przez 4 resztę 2, więc nie może być równe 0.
Nie ma więc potęgi liczby Mersenne’a będącej inną liczbą Mersenne’a
