Podzielność + n w wykładniku potęg

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
filipek50
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 1 gru 2010, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stalowa Wola
Podziękował: 3 razy

Podzielność + n w wykładniku potęg

Post autor: filipek50 »

Trzeba znaleźć wszystkie liczby naturalne n

\(\displaystyle{ \frac{20^n-3^n+16^n-1}{323} \in \mathbb{N}}\)


Nie mam pomysłu na to.
Ostatnio zmieniony 1 gru 2010, o 18:24 przez Crizz, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Podzielność + n w wykładniku potęg

Post autor: »

Wskazówka: \(\displaystyle{ 323=17\cdot 19}\), zatem licznik musi podzielny przez \(\displaystyle{ 17}\) i \(\displaystyle{ 19}\).

Zawsze jest \(\displaystyle{ 17|(20^n-3^n)}\), zatem trzeba się zastanowić kiedy \(\displaystyle{ 17|(16^n-1)}\).
Tak samo zawsze jest \(\displaystyle{ 19|(20^n-1)}\), zatem trzeba się zastanowić kiedy \(\displaystyle{ 19|(16^n-3^n)}\).

Na oba pytania najprościej odpowiedzieć przy użyciu kongruencji, ale jak nie znasz, to można się też obejść bez nich.

Q.
ODPOWIEDZ