Sprawdź czy liczba postaci \(\displaystyle{ n^{5}-5n^{3}+4n}\) dzieli 120
\(\displaystyle{ n \in}\) naturalnych
Sprawdzanie podzielności
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Sprawdzanie podzielności
\(\displaystyle{ n^5-5n^3+4n = n(n^4-5n^2+4) = (n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}\)
W iloczynie 5 kolejnych liczb naturalnych zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 5, min. jedna liczba podzielna przez 4, oraz nasze wyrażenie musi być podzielne przez 3 i 2, tak więc jest podzielne przez:
\(\displaystyle{ 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120}\)
Pozdrawiam.
W iloczynie 5 kolejnych liczb naturalnych zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 5, min. jedna liczba podzielna przez 4, oraz nasze wyrażenie musi być podzielne przez 3 i 2, tak więc jest podzielne przez:
\(\displaystyle{ 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120}\)
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 27 wrz 2010, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 1 raz
Sprawdzanie podzielności
wszystko pięknie ładnie tylko jak wpadłeś na to że to iloczyn 5 kolejnych liczb. Chodzi mi o to czy takie zauważanie wymaga rozwiązania dużo takich zadanek czy po prostu jest na to jakiś chwyt ??
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Sprawdzanie podzielności
Mamy:
\(\displaystyle{ n^4-5n^2+4}\)
To można rozbić na kilka sposobów, opiszę jeden, podstawiamy:
\(\displaystyle{ n^2=t \ge 0}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ t^2-5t+4=0}\)
Obliczając to jak standardowe równanie kwadratowe, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ t=4\vee t=1}\)
Teraz wracając do podstawienia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^2=4\vee x^2=1}\)
\(\displaystyle{ x=-2 \vee x=-1 \vee x=1\vee x=2}\)
Znając miejsca zerowe możemy dany wielomian zapisać w postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}\)
Wcześniej oczywiście mieliśmy jeszcze przed nawiasem n
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ n^4-5n^2+4}\)
To można rozbić na kilka sposobów, opiszę jeden, podstawiamy:
\(\displaystyle{ n^2=t \ge 0}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ t^2-5t+4=0}\)
Obliczając to jak standardowe równanie kwadratowe, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ t=4\vee t=1}\)
Teraz wracając do podstawienia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^2=4\vee x^2=1}\)
\(\displaystyle{ x=-2 \vee x=-1 \vee x=1\vee x=2}\)
Znając miejsca zerowe możemy dany wielomian zapisać w postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}\)
Wcześniej oczywiście mieliśmy jeszcze przed nawiasem n
Pozdrawiam.