Sprawdzanie podzielności

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
artii94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 27 wrz 2010, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

Sprawdzanie podzielności

Post autor: artii94 »

Sprawdź czy liczba postaci \(\displaystyle{ n^{5}-5n^{3}+4n}\) dzieli 120
\(\displaystyle{ n \in}\) naturalnych
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Sprawdzanie podzielności

Post autor: Vax »

\(\displaystyle{ n^5-5n^3+4n = n(n^4-5n^2+4) = (n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}\)

W iloczynie 5 kolejnych liczb naturalnych zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 5, min. jedna liczba podzielna przez 4, oraz nasze wyrażenie musi być podzielne przez 3 i 2, tak więc jest podzielne przez:

\(\displaystyle{ 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120}\)

Pozdrawiam.
artii94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 27 wrz 2010, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

Sprawdzanie podzielności

Post autor: artii94 »

wszystko pięknie ładnie tylko jak wpadłeś na to że to iloczyn 5 kolejnych liczb. Chodzi mi o to czy takie zauważanie wymaga rozwiązania dużo takich zadanek czy po prostu jest na to jakiś chwyt ??
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Sprawdzanie podzielności

Post autor: Vax »

Mamy:

\(\displaystyle{ n^4-5n^2+4}\)

To można rozbić na kilka sposobów, opiszę jeden, podstawiamy:

\(\displaystyle{ n^2=t \ge 0}\)

Mamy zatem:

\(\displaystyle{ t^2-5t+4=0}\)

Obliczając to jak standardowe równanie kwadratowe, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ t=4\vee t=1}\)

Teraz wracając do podstawienia otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x^2=4\vee x^2=1}\)

\(\displaystyle{ x=-2 \vee x=-1 \vee x=1\vee x=2}\)

Znając miejsca zerowe możemy dany wielomian zapisać w postaci iloczynowej:

\(\displaystyle{ (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}\)

Wcześniej oczywiście mieliśmy jeszcze przed nawiasem n

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ