Liczba naturalna
Liczba naturalna
Pokazać, że dla liczb naturalnych x,y,z liczba \(\displaystyle{ \sqrt{x}+ \sqrt{y}+ \sqrt{z}}\) jest naturalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczby x,y,z są kwadratami liczb naturalnych.
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Liczba naturalna
Nawet więcej: \(\displaystyle{ a,b,c}\) liczby wymierne dodatnie, \(\displaystyle{ d}\) wymierna nieujemna, \(\displaystyle{ x,y,z}\) całkowite nieujemne, wówczas:
\(\displaystyle{ a\sqrt{x}+b\sqrt{y}+c\sqrt{z}=d}\) wtw \(\displaystyle{ x,y,z}\) kwadraty.
Odpowiednik tego twierdzenia dla dwóch zmiennych sam spróbuj udowodnić, z resztą dowodzi się go podobnie jak poniżej (nazwę go (*)).
Skorzystamy z niego w dowodzie dla 3 zmiennych:
Gdy \(\displaystyle{ d=0}\), to \(\displaystyle{ x=y=z=0}\), czyli jest OK. W przeciwnym przypadku:
\(\displaystyle{ a\sqrt{x}+b\sqrt{y}=d-c\sqrt{z} \\ a^2x+b^2y+2ab\sqrt{xy}=d^2-2dc\sqrt{z}+c^2z \\ (2ab) \cdot \sqrt{xy}+(2dc) \cdot \sqrt{z}=\underbrace{d^2+c^2z-a^2x-b^2y}_{oznaczmy \ u}}\)
Liczba \(\displaystyle{ u}\) jest wymierna i nieujemna (bo po lewej stronie jest suma liczb nieujemnych), a także \(\displaystyle{ 2ab \neq 0 \neq 2cd}\).
Z (*) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x \cdot y}\) jest kwadratem oraz \(\displaystyle{ z}\) jest kwadratem. Analogicznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ y}\) jest kwadratem i \(\displaystyle{ x}\) jest kwadratem.
\(\displaystyle{ a\sqrt{x}+b\sqrt{y}+c\sqrt{z}=d}\) wtw \(\displaystyle{ x,y,z}\) kwadraty.
Odpowiednik tego twierdzenia dla dwóch zmiennych sam spróbuj udowodnić, z resztą dowodzi się go podobnie jak poniżej (nazwę go (*)).
Skorzystamy z niego w dowodzie dla 3 zmiennych:
Gdy \(\displaystyle{ d=0}\), to \(\displaystyle{ x=y=z=0}\), czyli jest OK. W przeciwnym przypadku:
\(\displaystyle{ a\sqrt{x}+b\sqrt{y}=d-c\sqrt{z} \\ a^2x+b^2y+2ab\sqrt{xy}=d^2-2dc\sqrt{z}+c^2z \\ (2ab) \cdot \sqrt{xy}+(2dc) \cdot \sqrt{z}=\underbrace{d^2+c^2z-a^2x-b^2y}_{oznaczmy \ u}}\)
Liczba \(\displaystyle{ u}\) jest wymierna i nieujemna (bo po lewej stronie jest suma liczb nieujemnych), a także \(\displaystyle{ 2ab \neq 0 \neq 2cd}\).
Z (*) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x \cdot y}\) jest kwadratem oraz \(\displaystyle{ z}\) jest kwadratem. Analogicznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ y}\) jest kwadratem i \(\displaystyle{ x}\) jest kwadratem.