Równanie w liczbach pierwszych

[gelo21]

Rozwiązać w liczbach pierwszych równanie : \(\displaystyle{ p ^{3}- q^{5}=(p+q) ^{2}}\).

[kaszubki]

Załóżmy wpierw, że p i q są różne od 3. Wówczas rozpatrujemy 2 przypadki:
1) \(\displaystyle{ 3|p-q}\). Wtedy \(\displaystyle{ 3|p^3-q^5}\) i \(\displaystyle{ 3|(p+q)^2 -1}\). Więc nie ma rozwiązań.
2) \(\displaystyle{ p \neq q mod 3}\). Wtedy \(\displaystyle{ (p+q)^2 = 0 mod 3}\), ale \(\displaystyle{ p^3-q^5 \neq 0 mod 3}\). Nie ma rozwiązań.
Tak więc któraś z tych liczb musi być równa 3. Nietrudno sprawdzić, że gdyby p było równe 3, to by się posypało.
Tak więc q=3. \(\displaystyle{ p^3-p^2-6 p=252=7 \cdot 36}\). Zatem \(\displaystyle{ p|7}\) lub \(\displaystyle{ p|36}\). Ale gdyby \(\displaystyle{ p|36}\), to p mogłoby być równe 2 lub 3 , ale wtedy nie styka. Tak więc p=7 i po sprawdzeniu wychodzi, że pasuje.

[gelo21]

Nie czaję z tego rozwiązania dedukcji przy punkcie 2). Dlaczego jeśli \(\displaystyle{ p \neq q mod 3}\) to wychodzą Ci takie wnioski??-- 28 lis 2010, o 10:36 --i dlaczego w 1) mamy -1 w tym drugim przypadku??

[kaszubki]

1) \(\displaystyle{ (p+q)^2 = (1+1)^2 = 1 \ mod \ 3 \vee (p+q)^2 = (-1-1)^2 = 1 \ mod \ 3}\).

2) Jeżeli p i q dają różne reszty z dzielenia przez 3 i żadna z tych liczb nie jest trójką, to te reszty to 1 i -1. Więc \(\displaystyle{ (p+q)^2 \ = \ (1-1)^2 \ = \ 0 \ mod \ 3}\). Zaś \(\displaystyle{ p^3-q^5 = 1-(-1) = 2 \ mod \ 3 \vee p^3-q^5 = -1 -1 = 1 \ mod \ 3}\).

[gelo21]

A mam jeszcze jedno pytanko. Dlaczego w 1) zakładasz, że \(\displaystyle{ 3|p-q}\)??