Ilość zer na końcu liczby - dowód.

luna1518 · Post autor: **luna1518** » 27 lis 2010, o 19:23

Zadanie 1.
Udowodnij, że liczba w postaci \(\displaystyle{ 9^{n} +1}\) może mieć na końcu nie więcej niż jedno zero (n należy do N ).

Jak się za to zabrać?

smigol · Post autor: **smigol** » 27 lis 2010, o 19:55

Pokaż, że ta liczba nie dzieli się przez 100.

luna1518 · Post autor: **luna1518** » 28 lis 2010, o 13:07

A mógłbyś mi to rozpisać? Bo nie mam pomysłu jak to rozpisać, zapisać.
Jedyne co mi przychodzi do głowy, to to, że:
\(\displaystyle{ 9 ^{n}=(3^{n})^2}\) i to jest kwadrat liczby nieparzystej

smigol · Post autor: **smigol** » 28 lis 2010, o 13:17

No bo gdyby \(\displaystyle{ 9^n+1}\) byłoby podzielne przez 100, to istniałoby takie naturalne k, że \(\displaystyle{ 9^n=100k-1}\), czyli dla pewnego l: \(\displaystyle{ (3^n)^2=100l+99}\).
\(\displaystyle{ (3^n)^2=4(25l+24)+3}\), czyli kwadrat liczby naturalnej dawałby resztę 3 z dzielenia przez 4.