Jak rozwiązać taka kongruencję? Twierdzeniem chińskim o resztach wychodzą jakieś bzdury albo nie umiem go dla takich układów stosować
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^{2}+x\equiv0\ mod\ 5\\
2x+3\equiv 0\ mod\ 7\end{cases}}\)
Układ kongruencji mod
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 14 paź 2010, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kraj walecznych obrońców krzyża
- Pomógł: 3 razy
Układ kongruencji mod
Na wstępie napiszę, że nigdy nie rozwiązywałem takich układów. Nie wiem więc czy to co napisze będzie poprawne. Potraktuj mój post jako luźną myśl która być może ci pomoże
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^{2}+x\equiv0\ mod\ 5\\
2x+3\equiv 0\ mod\ 7\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(3x+1) \equiv0\ mod\ 5\\
2x+3\equiv 0\ mod\ 7\end{cases}}\)
Ponieważ 5 jest liczba pierwszą , z pierwszej kongruencji otrzymujemy, że musi być:
\(\displaystyle{ x \equiv0 (mod5) \vee 3x+1\equiv0 (mod5)}\)
Dostajemy dwa układy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv0 mod5 \\ 2x \equiv4 mod7 \end{cases}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+1\equiv0 mod5 \\ 2x \equiv4 mod7 \end{cases}}\)
inaczej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv0 mod5 \\ x \equiv2 mod7 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv3 mod5 \\ x \equiv2 mod7 \end{cases}}\)
Drugą kongruencję możemy podzielić przez 2 ponieważ \(\displaystyle{ NWD(2,7)=1}\)
Teraz już łatwo rozwiązać te dwa układy za pomoca twierdzenia chińskiego o resztach. Jeżeli gdzieś się nie pomyliłem to rozwiązania wychodzą:
\(\displaystyle{ x=35k+30 \vee 35k+23 , k \in N}\)
Pozdraiwam
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^{2}+x\equiv0\ mod\ 5\\
2x+3\equiv 0\ mod\ 7\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(3x+1) \equiv0\ mod\ 5\\
2x+3\equiv 0\ mod\ 7\end{cases}}\)
Ponieważ 5 jest liczba pierwszą , z pierwszej kongruencji otrzymujemy, że musi być:
\(\displaystyle{ x \equiv0 (mod5) \vee 3x+1\equiv0 (mod5)}\)
Dostajemy dwa układy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv0 mod5 \\ 2x \equiv4 mod7 \end{cases}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+1\equiv0 mod5 \\ 2x \equiv4 mod7 \end{cases}}\)
inaczej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv0 mod5 \\ x \equiv2 mod7 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv3 mod5 \\ x \equiv2 mod7 \end{cases}}\)
Drugą kongruencję możemy podzielić przez 2 ponieważ \(\displaystyle{ NWD(2,7)=1}\)
Teraz już łatwo rozwiązać te dwa układy za pomoca twierdzenia chińskiego o resztach. Jeżeli gdzieś się nie pomyliłem to rozwiązania wychodzą:
\(\displaystyle{ x=35k+30 \vee 35k+23 , k \in N}\)
Pozdraiwam
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 lut 2007, o 15:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krasno
- Podziękował: 1 raz
Układ kongruencji mod
\(\displaystyle{ 3x+1\equiv 0 mod5 \Rightarrow x\equiv 3mod5}\)?? Nie wiem skąd to przejście, i z tego co na koniec wychodzi Tobie, że \(\displaystyle{ x=35k+30 \vee x=35k+23}\) z tych samych równań ja mam inne wyniki, że \(\displaystyle{ x=35k+15 \vee x=35k+22}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 14 paź 2010, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kraj walecznych obrońców krzyża
- Pomógł: 3 razy
Układ kongruencji mod
Twoje wyniki są raczej zle bo już biorąc pierwszą mozliwośc i podstawiając k=1 dostajemy x=50, które nie spełnia drugiej kongruencji. Przejscie to wzięlo się stąd, że 3x musi dawac resztę 4 z dzielenia przez 5, w ten sposób sprawdzamy. Jeżeli x daje resztę 1 z dzielenia przez 5 to 3x daje reszte 3 - nie pasuje i tak dalej. Tym sposobem dochodzimy do tego, że x przystaje do 3 mod 5