udowodnij ze n nalezy do N i podzielnosc

[magik2]

1.
udowodnij ze
\(\displaystyle{ n \in N}\)
jezeli
\(\displaystyle{ n =\frac{1}{\sqrt{1}+ \sqrt{4}}+\frac{1}{ \sqrt{4}+ \sqrt{7}}+\frac{1}{ \sqrt{7}+ \sqrt{10}}+...+\frac{1}{ \sqrt{97}+ \sqrt{100}}}\)

2. zadanie

udowodnij ze

47 jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 7^{n} \cdot 2^{3n} - 3^{2n}}\)

\(\displaystyle{ n \in N}\)

[Althorion]

1.
Podpowiedź:
Pozbądź się niewymierności.
2.
Sam się siebie boję, ale chyba najszybciej będzie tutaj posłużyć się indukcją.

EDYCJA:
Ufff... Na szczęście nie:
\(\displaystyle{ 7^n 2^{3n}-3^{2n} = 7^n \cdot 8^n - 9^n = 56^n - 9^n = (56-9)(56^{n-1} + 56^{n-2} \cdot 9 + \ldots + 56 \cdot 9^{n-2} + 9^{n-1})}\)

[magik2]

rzeczywiście wystarczy usunac niewymiernosc.. troche sie przestraszylem jak zobaczylem te kropki pomiedzy ++ ;] indukcja... nigdy bym nie wpadł, chociaz wzor jest w tablicach. Dzieki ;]

[smigol]

2 - można skorzystać z tego, że jeśli wielomian F(x) ma współczynniki całkowite, to
\(\displaystyle{ x-y|F(x)-F(y)}\)