Podzelność liczb

[gelo21]

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) ,to \(\displaystyle{ NWD(a ^{3}+b ^{3},a ^{2}+b ^{2}) | (a-b)}\).

[Vax]

Niech \(\displaystyle{ d = (a^3+b^3 , a^2+b^2)}\), wówczas:

\(\displaystyle{ d | a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = (a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)}\), ale skoro \(\displaystyle{ d|a^2+b^2}\) to \(\displaystyle{ d | ab(a+b) = a^2b+ab^2 = a(a^2+b^2)-a^3+a^2b \Rightarrow d | a^3-a^2b = a^2(a-b)}\)

Oznaczmy teraz \(\displaystyle{ l = (a^2 , a-b) = (a^2 - a(a-b) , a-b) = (ab,a-b)}\) czyli musi zachodzić \(\displaystyle{ l | ab}\) a skoro \(\displaystyle{ (a,b)=1}\) to bso \(\displaystyle{ l|a}\), jednak wtedy \(\displaystyle{ l|a-b \Rightarrow l|b}\) czyli \(\displaystyle{ l=1}\), więc \(\displaystyle{ (a^2,a-b) = 1}\), więc \(\displaystyle{ d | a^2(a-b) \Leftrightarrow d | a^2 \vee d | a-b}\), jeżeli \(\displaystyle{ d | a^2}\) to dostajemy \(\displaystyle{ d | a^2+b^2 \Rightarrow d | b^2}\) czyli \(\displaystyle{ d=1}\) i istotnie \(\displaystyle{ 1 | a-b}\), w przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ d | a-b}\) cnd.

[Panda]

\(\displaystyle{ (a^3 + b^3,a^2 + b^2) = (a^3 + b^3 - a(a^2 + b^2),a^2 + b^2) = (b^{2}(b-a), a^2 + b^2)}\)
\(\displaystyle{ (b^2, a^2 + b^2) = (b^2,a^2) = 1}\), więc \(\displaystyle{ (b^{2}(b-a),a^2 + b^2) = (b-a,a^2 + b^2) | a-b}\)

Krócej