Podzelność liczb

[gelo21]

Pokazać, że dla dowolnego n \(\displaystyle{ 2^{n}}\) nie dzieli \(\displaystyle{ ( 3 ^{n}+1)}\).

[Vax]

Dla n=1 teza nie jest spełniona.

Pozdrawiam.

[ElEski]

gelo21,
Podziel sobie jedno przez drugie ;D
Oczywiście dla n naturalnego, większego niż 1.

[klaustrofob]

załóżmy, że \(\displaystyle{ n=2k+1\ge 3}\). wtedy \(\displaystyle{ 8|2^n}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 3^n=3^{2k+1}=3^{2k}\cdot 3=9^k\cdot 3}\), więc z dzielenia przez 8 liczba \(\displaystyle{ 3^n+1}\) daje resztę 4. sprzeczność. z kolei gdy \(\displaystyle{ n=2k\ge 2}\), to \(\displaystyle{ 4|2^n}\), ale \(\displaystyle{ 3^n=3^{2k}=9^k}\) i z dzielenia prze 4 liczba \(\displaystyle{ 3^n+1}\) daje resztę 2. też sprzeczność. dla n=1 teza nie jest prawdziwa, jak zauważył \(\displaystyle{ Vax}\)