Układ 2 równań

[jacekgo]

Proszę o rozwiązanie układu gdzie \(\displaystyle{ x, y, z\in R}\):

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\\xy+xz+yz=27\end{array}}\)

PS. Wiem, że \(\displaystyle{ x=y=z=3}\) ale nie wiem czy jest to jedyne rozwiązanie oraz że PODOBNO należy pomnożyć drugie równanie razy \(\displaystyle{ x}\) i doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ (x-3)^{3}=0}\) ale jak?

[yorgin]

Ja bym to tak rozwiazywał:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \\xy+yz+xz=27\end{array}\\}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}xy+yz+xz=xyz \\xy+yz+xz=27\end{array}\\}\)
\(\displaystyle{ xyz=27\\
27=1*3*9*27\\}\)
Niech x=1, wtedy y=-z, mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}y+y^2+y=y^2 \\y+y+2y^2=27 \end{array}\\
ft\{\begin{array}{l}\2y=0 \\2y+y^2=27 \end{array}\\}\)
Układ sprzeczny.
Niech x=3, wtedy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3y+3z+zy=27 \\3y+3z+zy=3zy \end{array}\\}\)
Po jego rozwiązaniui otrzymujemy y=z=3.
Dalsze układy nie dadzą nam żadnych innych rozwiązań. Więc jedyne rozwiązanie to trójka (3,3,3).

Problem cały w tym że rozwiązałem ten układ w Z, nie wiem za bardzo jak to idzie w R, ale przynajmniej jest jakaś 3 spełniająca to równanie.
Co do \(\displaystyle{ x,y,z R}\) nigdy nie rozwiązywałem tego typu równań/układów, więc sam jestem ciekaw czy ktoś to potrafi zrobić w R.

[jacekgo]

Dzięki, dodam tylko że na pewno rozwiązanie go w R nie może być aż tak trudne bo jest to zadanie z olimpiady dla 3 kl liceum. Może ktoś jednak potrafi go rozwiązać?