Udowodnij, że zbiór jest zamknięty ze względu na...

[kris248]

Witam,
Proszę Was o wytłumaczenie jak policzyć następujące zadanie:
Udowodnij, że zbiór liczb w postaci \(\displaystyle{ a + b\sqrt{3}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b C}\) , jest zamknięty ze względu na:
a)dodawanie
b)mnożenie

Jeszcze raz proszę wszystkich o pomoc:)

[kuch2r]

domyslam sie ze \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) jest to zbior liczb calkowitych, a nie zespolonych...
oznaczmy sobie przez \(\displaystyle{ \mathbb{A}=\{a+b\sqrt{3}:a,b\in\mathbb{C}\}}\)
Jezeli zbior A jest zamkniety na dodawanie to zachodzi nastepujaca implikacja...
\(\displaystyle{ \forall v,w\in \mathbb{A} v+w\in \mathbb{A}}\)
Niech
\(\displaystyle{ v\in\mathbb{A}}\)
Zatem \(\displaystyle{ v=a_1+b_1\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ w\in\mathbb{A}}\)
Zatem \(\displaystyle{ w=a_2+b_2\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ v+w=a_1+b_1\sqrt{3}+a_2+b_2\sqrt{3}=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{3}\\(a_1+a_2)\in\mathbb{C}, (b_1+b_2)\in\mathbb{C}}\)
Stad
\(\displaystyle{ v+w\in\mathbb{C}}\)
A wiec nasz zbior jest zamkniety ze wzgledu na dzialanie dodawania....


Dowod dowod dla mnozenia analogiczny...