trzy ostatnie cyfry

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
adam01s
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 7 lis 2009, o 09:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2 razy

trzy ostatnie cyfry

Post autor: adam01s »

Wyznaczyć trzy ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 9 ^{9 ^{9} }}\)
chozz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 16 lis 2010, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

trzy ostatnie cyfry

Post autor: chozz »

\(\displaystyle{ {9^{9}}^{9} \Leftrightarrow {3^{2*t}}}\)
\(\displaystyle{ t = 9^{9} = 3^{18}}\)

Teraz idea jest taka, musisz sprawdzać kolejne reszty potęg trójki przy dzieleniu przez tysiąc (bo interesują nas 3 ostatnie cyfry). Kiedy zaczną się one powtarzać to otrzymasz jakby pewną zasadę według której wyznaczysz trzy ostatnie cyfry.
To znaczy nie wiem czy mnie rozumiesz, ale np. reszty potęg dwójki przy dzieleniu przez 10 to kolejno 2,4,8,6,2.. dalej już będzie się powtarzać. Jeśli chciałbyś zobaczyć ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ 2^{15}}\) to widzisz, że tutaj są 4 możliwe reszty, czyli będą 3 pełne cykle i jeszcze 3.
\(\displaystyle{ 4*3 + 3 = 15.}\)
Stąd wiemy, że reszta to 8.

EDIT, ok teraz wiem, że coś nie pykło więc mhm poprawiam. Nie wiem na ile to jest dobrze, ale wydaję mi się, że mogę zrobić jakieś podstawienie przy podnoszeniu do potęgi t, też otrzymam jakąś zależność według której potem znów mogę sprawdzić trzy ostatnie cyfry. Nie wiem czy to zadziała, poprawcie mnie jeśli coś nie tak.
Ostatnio zmieniony 17 lis 2010, o 18:16 przez chozz, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

trzy ostatnie cyfry

Post autor: smigol »

chozz, \(\displaystyle{ 9^9=81}\)?
chozz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 16 lis 2010, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

trzy ostatnie cyfry

Post autor: chozz »

\(\displaystyle{ a^{n^{m}} = a^{n*m}}\)
tak czy nie?
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

trzy ostatnie cyfry

Post autor: ares41 »

chozz,
\(\displaystyle{ a^{{n}^{m }}\neq (a^n)^m}\)
chozz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 16 lis 2010, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

trzy ostatnie cyfry

Post autor: chozz »

a no fakt, teraz widzę potęgowanie pierwsze ;-] ok
ODPOWIEDZ