Udowodnij, że prawdziwa jest rowność
-
ranatharu
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 1 cze 2010, o 21:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bielsko Bia?a
Udowodnij, że prawdziwa jest rowność
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=(a+b+c)^{-1}}\) , to \(\displaystyle{ \left( a^{3}+b^{3} \right)\left(b^{3}+c^{3}\right)\left( c^{3}+ a^{3}\right)=0}\)
Ostatnio zmieniony 14 lis 2010, o 20:45 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: po co az tyle klamr[latex][/latex]
Powód: po co az tyle klamr
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Udowodnij, że prawdziwa jest rowność
Jeżeli założenie jest dobrze określone (ma sens), to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\\
\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\\
(a+b+c)(ab+bc+ac)=abc\\
a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc=0\\
(a+b) (a+c) (b+c) = 0}\)
Czyli co najmniej jeden z czynników musi być równy zeru, a jako że w tezie występuje każdy z w/w czynników, to okazuje się ona być prawdziwą, cnu.
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\\
\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\\
(a+b+c)(ab+bc+ac)=abc\\
a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc=0\\
(a+b) (a+c) (b+c) = 0}\)
Czyli co najmniej jeden z czynników musi być równy zeru, a jako że w tezie występuje każdy z w/w czynników, to okazuje się ona być prawdziwą, cnu.