Podzielność liczb i liczby względnie pierwsze

[slepy_01]

Mam pewien problem i nie wiem za bardzo co z nim zrobić
Z kongruencji da się udowodnić że
\(\displaystyle{ m|n \Rightarrow a^m - 1|a^n - 1}\)
Czy jest prawdą (i jeżeli jest to czy ktoś mógłby to udowodnić) że jeżeli liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze to liczby \(\displaystyle{ a^m - 1}\) i \(\displaystyle{ a^n - 1}\) są również względnie pierwsze. Z góry dziękuję za pomoc.

[Lorek]

Latex! Jeśli chodzi o twierdzenie
\(\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{N} \ \nwd(m,n)=1\Rightarrow \nwd (a^m-1,a^n-1)=1}\)
to nie jest ono prawdziwe (wystarczy wziąć a nieparzyste).

[slepy_01]

Przepraszam. Jestem nowy i jeszcze nie ogarnąłem LaTeXa. A jeśli a jest liczbą parzystą to wtedy to twierdzenie jest prawdziwe??

[Lorek]

Hm, liczby \(\displaystyle{ a^m -1,\ a^n-1}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ a-1}\), tak że dla \(\displaystyle{ a>2}\) sprawa jest oczywista, jedyna możliwość dla której to twierdzenie może być prawdziwe to \(\displaystyle{ a=2}\). Spróbuj się pobawić algorytmem Euklidesa, może coś z tego uzyskasz.

[slepy_01]

Pobawiłem się... Nic mi nie wychodzi. Jeżeli ktoś by mógł pomóc dla a=2