Witam mam problem z takim zadaniem :
Rozwiązać w liczbach naturalnych x,y,z równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{ x^{2} }+ \frac{1}{y^{2}}= \frac{1}{z^{2}}}\) proszę o pomoc
Liczby naturalne
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Liczby naturalne
smigol, raczej identycznie się nie da.
Wstępne rozpoznanie przedpola:
\(\displaystyle{ z^2(x^2+y^2)=(xy)^2}\)
Wynika stąd w szczególności, że \(\displaystyle{ z^2|(xy)^2}\), czyli \(\displaystyle{ z|(xy)}\). Niech \(\displaystyle{ xy=az}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\)
Znamy skądinąd postać trójek pitagorejskich, wiemy więc, że dla pewnych \(\displaystyle{ n,m}\) (\(\displaystyle{ n>m}\)) jest:
\(\displaystyle{ x=n^2-m^2\\
y=2nm\\
a=n^2+m^2}\)
Ponieważ jednocześnie wiemy, że \(\displaystyle{ a|(xy)}\), daje to nam podzielność:
\(\displaystyle{ (n^2+m^2) \mid \left(2nm(n^2-m^2)\right)}\)
lub jak kto woli
\(\displaystyle{ (n^2+m^2) \mid \left(4n^3m\right)}\)
Zadanie sprowadza się zatem do znalezienia wszystkich \(\displaystyle{ n,m}\) (\(\displaystyle{ n>m}\)) dla których zachodzi ta podzielność.
Można się przekonać, że dobre są rozwiązania \(\displaystyle{ (10,5),(15,5),(35,5)}\) (oraz wszystkie ich wielokrotności), ale czy są jakieś inne rozwiązania - to pytanie na razie jest otwarte.
Q.
Wstępne rozpoznanie przedpola:
\(\displaystyle{ z^2(x^2+y^2)=(xy)^2}\)
Wynika stąd w szczególności, że \(\displaystyle{ z^2|(xy)^2}\), czyli \(\displaystyle{ z|(xy)}\). Niech \(\displaystyle{ xy=az}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\)
Znamy skądinąd postać trójek pitagorejskich, wiemy więc, że dla pewnych \(\displaystyle{ n,m}\) (\(\displaystyle{ n>m}\)) jest:
\(\displaystyle{ x=n^2-m^2\\
y=2nm\\
a=n^2+m^2}\)
Ponieważ jednocześnie wiemy, że \(\displaystyle{ a|(xy)}\), daje to nam podzielność:
\(\displaystyle{ (n^2+m^2) \mid \left(2nm(n^2-m^2)\right)}\)
lub jak kto woli
\(\displaystyle{ (n^2+m^2) \mid \left(4n^3m\right)}\)
Zadanie sprowadza się zatem do znalezienia wszystkich \(\displaystyle{ n,m}\) (\(\displaystyle{ n>m}\)) dla których zachodzi ta podzielność.
Można się przekonać, że dobre są rozwiązania \(\displaystyle{ (10,5),(15,5),(35,5)}\) (oraz wszystkie ich wielokrotności), ale czy są jakieś inne rozwiązania - to pytanie na razie jest otwarte.
Q.