Liczby naturalne

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
gelo21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 24 kwie 2009, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Liczby naturalne

Post autor: gelo21 »

Witam mam problem z takim zadaniem :
Rozwiązać w liczbach naturalnych x,y,z równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{ x^{2} }+ \frac{1}{y^{2}}= \frac{1}{z^{2}}}\) proszę o pomoc
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Liczby naturalne

Post autor: smigol »

218309.htm

Zasadniczo identycznie się rozwiązuje.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Liczby naturalne

Post autor: »

smigol, raczej identycznie się nie da.

Wstępne rozpoznanie przedpola:
\(\displaystyle{ z^2(x^2+y^2)=(xy)^2}\)
Wynika stąd w szczególności, że \(\displaystyle{ z^2|(xy)^2}\), czyli \(\displaystyle{ z|(xy)}\). Niech \(\displaystyle{ xy=az}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\)

Znamy skądinąd postać trójek pitagorejskich, wiemy więc, że dla pewnych \(\displaystyle{ n,m}\) (\(\displaystyle{ n>m}\)) jest:
\(\displaystyle{ x=n^2-m^2\\
y=2nm\\
a=n^2+m^2}\)


Ponieważ jednocześnie wiemy, że \(\displaystyle{ a|(xy)}\), daje to nam podzielność:
\(\displaystyle{ (n^2+m^2) \mid \left(2nm(n^2-m^2)\right)}\)
lub jak kto woli
\(\displaystyle{ (n^2+m^2) \mid \left(4n^3m\right)}\)

Zadanie sprowadza się zatem do znalezienia wszystkich \(\displaystyle{ n,m}\) (\(\displaystyle{ n>m}\)) dla których zachodzi ta podzielność.

Można się przekonać, że dobre są rozwiązania \(\displaystyle{ (10,5),(15,5),(35,5)}\) (oraz wszystkie ich wielokrotności), ale czy są jakieś inne rozwiązania - to pytanie na razie jest otwarte.

Q.
gelo21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 24 kwie 2009, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Liczby naturalne

Post autor: gelo21 »

Qń jak znaleźć wszystkie rozwiązanie tej podzielności??
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Liczby naturalne

Post autor: »

Jak zrozumiałeś sformułowanie: "to pytanie na razie jest otwarte"?

Q.
ODPOWIEDZ