skracalność ułamka

[fala21]

Mam problem z zadaniem w którym wiedząc że \(\displaystyle{ ad-bc=1}\) trzeba dowieść że ułamek \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d}}\) jest nieskracalny.
Z góry dzięki za pomoc.

[SaxoN]

Załóżmy nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ p\in\mathbb{P}}\), że \(\displaystyle{ p\mid a+b}\) oraz \(\displaystyle{ p\mid c+d}\). Wtedy \(\displaystyle{ a\equiv -b\pmod{p}}\) oraz \(\displaystyle{ c \equiv -d \pmod{p}}\). Dzięki temu mamy \(\displaystyle{ 1=ad-bc\equiv (-b)(-c)-bc=0 \pmod{p}}\), czyli sprzeczność.

[fala21]

Możesz powiedzieć mi co oznacza to \(\displaystyle{ 9mod p)}\) bo tego chyba jeszcze nie miałem.

[M Ciesielski]

O kongruencjach poczytaj.

[fala21]

A da się tego dowieść bez użycia tych kongruencji??? Nie miałem jeszcze tego zagadnienia i niechciałbym miesza i dobrze to zrozumieć

[silvaran]

Dzielenie mod przez liczbę n zwraca resztę z dzielenia przez n.
Czyli dzielenie a modulo przez n zwróci r, czyli r jest resztą (istnieje naturalne k tż a=k*d+r)