właściwości statystyczne liczb pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
pz2372901
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 12 lis 2010, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice

właściwości statystyczne liczb pierwszych

Post autor: pz2372901 »

Nie jestem matematykiem stąd moja prośba o fachową pomoc. Zauważyłem, że jeżeli weźmiemy liczby pierwsze
\(\displaystyle{ 2<p<10^7}\), to wsród liczb \(\displaystyle{ p-1}\) wszystkie są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 1/2}\) podzielna przez \(\displaystyle{ 2^2}\), \(\displaystyle{ 1/4}\) podzielna przez \(\displaystyle{ 2^3}\) i ogólnie \(\displaystyle{ 1/2^{\alpha-1}}\) podzielnych przez \(\displaystyle{ 2^\alpha}\). Powyższą właściwość można uzadanić postulując, że prawdopodobieństwo ustawienia bitu na "0" lub "1" w reprezentacji bitowej liczby \(\displaystyle{ p}\) wynosi \(\displaystyle{ 1/2}\) (wyłączając oczywiście najmłodszy bit). Czy powyższa właściwość ma jakąś nazwę i czy istnieje jej dowód?
Awatar użytkownika
SaxoN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

właściwości statystyczne liczb pierwszych

Post autor: SaxoN »

Napisałeś to trochę nieprecyzyjnie- co to znaczy wśród liczb \(\displaystyle{ p-1}\)? Jeżeli chodzi o o liczby \(\displaystyle{ 1,\cdot, p-1}\), teza nie działa dla \(\displaystyle{ p=7}\), \(\displaystyle{ \alpha = 2}\). Chociaż ogólna idea tezy jest słuszna- po drobnych sprostowaniach będzie prawdziwa. Na pewno natomiast nie ma nazwy ^^
pz2372901
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 12 lis 2010, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice

właściwości statystyczne liczb pierwszych

Post autor: pz2372901 »

Idea jest taka: bierzemy liczby pierwsze z pewnego zakresu, od każdej z nich odejmujemy \(\displaystyle{ 1}\) i sprawdzamy
podzielność powstałych liczb przez \(\displaystyle{ 2}\) - bit 0 na najmłodszej pozycji, podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\) - bity 00 na najmłodszych pozycjach, podzielność przez \(\displaystyle{ 8}\) - bity 000 na najmłodszych pozycjach, itd., jednocześnie zliczając ile liczb jest w każdej z grup. Eksperyment numeryczny pokazuje, że z bardzo dużą dokładnością dołożenie kolejnego zera zmniejsza liczność grupy o połowę. Dostajemy zatem, że jeżeli wybierzemy losowo liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ p-1}\) będzie podzielne \(\displaystyle{ 2^\alpha}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1/2^{\alpha-1}}\). I pytanie. Czy jest jakieś twierdzenie/hipoteza które traktuje o prawdopodobieństwie występowania zer i jedynek w reprezentacji bitowej liczb pierwszych?
Awatar użytkownika
SaxoN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

właściwości statystyczne liczb pierwszych

Post autor: SaxoN »

Akurat czegoś takiego nie znam i obawiam się, że jeżeli to prawda to jest to kawał poważnej teorii. Oczywiście mogę się mylić i to może być proste- pomyślę nad tym ^^
ODPOWIEDZ