Dokończenie dowodu nierówności

[Grzybek]

A mianowicie nie mogę rozwiązać ostatniego kroku mojego dowodu i proszę o pomoc
Mam do udowodnienia:

\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n}{2} \right)^{n}}\) dla n>6

i na mocy indukcji matematycznej mam:

\(\displaystyle{ (n+1)!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)!=n!(n+1)< \left(\frac{n}{2}\right) ^{n}(n+1)= \frac{ n^{n} (n+1)}{2^n}}\)

Więc wystarczy, że muszę udowodnić:

\(\displaystyle{ \frac{ n^{n} (n+1)}{2^n}<\left(\frac{n+1}{2} \right)^{n+1}}\)

I dochodzę po przekształceniach do tego i już dalej nie wiem jak to udowodnić :p

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}n<n+1}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[Qń]

Zapisz tę nierówność w postaci:
\(\displaystyle{ 2<\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n}\)
i zauważ, że ciąg po prawej stronie rośnie do \(\displaystyle{ e}\), zatem w szczególności jest stale większy od dwójki, co oznacza, że nierówność jest prawdziwa.

Q.