Wykazac, ze liczba
\(\displaystyle{ 4\left( \frac{6 ^{n}-1 }{25}+ \frac{n}{20}\right)}\)
jest naturalna dla kazdego\(\displaystyle{ n.}\)
Wykazac ze to liczba naturalna
-
szatkus
- Użytkownik
- Posty: 231
- Rejestracja: 13 gru 2009, o 01:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zbąszynek
- Pomógł: 41 razy
Wykazac ze to liczba naturalna
\(\displaystyle{ 4\left( \frac{6 ^{n}-1 }{25}+ \frac{n}{20}\right)=\frac{4\cdot 6^n-4+5n}{25}}\)
\(\displaystyle{ 4\cdot 6^n-4+5n\equiv 0 (\mod 25)}\)
Nic mądrzejszego niż sprawdzenie wszystkich przypadków nie przychodzi mi do głowy. Człon 5n i potęga zapętlają się przy 5, więc wystarczy tylko sprawdzić różne reszty z dzielenia przez 5, przypadków jest więc niewiele.
\(\displaystyle{ 4\cdot 6^n-4+5n\equiv 0 (\mod 25)}\)
Nic mądrzejszego niż sprawdzenie wszystkich przypadków nie przychodzi mi do głowy. Człon 5n i potęga zapętlają się przy 5, więc wystarczy tylko sprawdzić różne reszty z dzielenia przez 5, przypadków jest więc niewiele.
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykazac ze to liczba naturalna
Zamiast sprawdzać wszystkie przypadki, możemy skorzystać z indukcji matematycznej, mamy udowodnić:
\(\displaystyle{ 25| 4\cdot 6^n - 4 + 5n}\)
Dla n=1 się zgadza, tak więc założenie:
\(\displaystyle{ 4\cdot 6^n -4+5n = 25a}\)
Teza: \(\displaystyle{ 25| 4\cdot 6^{n+1}-4+5n+5}\)
Dowód: \(\displaystyle{ 4\cdot 6^{n+1}-4+5n+5 = 4\cdot 6\cdot 6^n-4+5n+5 = 6(4\cdot 6^n-4+5n)+20-25n+5 = 6\cdot 25a+25(1-n) = 25(6a+1-n)}\)
cnd.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ 25| 4\cdot 6^n - 4 + 5n}\)
Dla n=1 się zgadza, tak więc założenie:
\(\displaystyle{ 4\cdot 6^n -4+5n = 25a}\)
Teza: \(\displaystyle{ 25| 4\cdot 6^{n+1}-4+5n+5}\)
Dowód: \(\displaystyle{ 4\cdot 6^{n+1}-4+5n+5 = 4\cdot 6\cdot 6^n-4+5n+5 = 6(4\cdot 6^n-4+5n)+20-25n+5 = 6\cdot 25a+25(1-n) = 25(6a+1-n)}\)
cnd.
Pozdrawiam.