Udowodnij (nierówności)

[deore94]

1. \(\displaystyle{ \frac{a ^{2} }{1+a ^{4} } \le \frac{1}{2}}\)
2. \(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} + 3 \ge (a+b+c) ^{2}}\)
3. \(\displaystyle{ a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 2(a+b+c)}\)
proszę o rozwiązanie tych przykładów krok po kroku
z góry dziękuje

[Dasio11]

1. Wyjdź od \(\displaystyle{ (a^2-1)^2 \ge 0}\);
2. Dla \(\displaystyle{ a=b=c=10}\) nie działa;
3. Pokaż, że \(\displaystyle{ a^3+\frac{1}{a} \ge 2a}\).

[robson161]

3. \(\displaystyle{ a ^{3} + \frac{1}{a} \ge 2a}\)

[deore94]

niestety nie udało mi się udowodnić żadnego z tych przykładów, mógłbym prosić o pomoc w ich rozwiązaniu?(krok po kroku)

[Ciamolek]

Jak widzisz 2. jest błędne (vide post Dasio11).

1.
\(\displaystyle{ (a^{2}-1)^{2}=a^{4}-2a^{2}+1 \ge 0}\) - przekształć, a dostaniesz oczekiwany wynik.

3.
Skorzystaj z tego, co już zostało napisane trzykrotnie (dla różnych literek). A żeby znaleźć nierówność dla danej literki zacznij dokładnie tak samo jak w 1.

Pozdrawiam.

[Marcinek665]

1. Bez przekształceń, tylko z zastosowaniem AM-GM w mianowniku:
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} }{1+a ^{4} } \le \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} }{1+a ^{4} } \le \frac{a ^{2} }{2a ^{2}} = \frac{1}{2}}\)