Udow. Dwie liczby naturalne nie mogą być kwadratem naturalne

[mediatoreczek]

Wykaż, że liczby naturalne postaci 7k+3 oraz 7k+5, gdzie k należy do naturalnych nie mogą być kwadratami liczb naturalnych

nie wprost zapisałem
\(\displaystyle{ 7k+3 = n^2 \Leftrightarrow 7k+3=(7m+3)^2}\), prawa strona będzie więc podzielna przez 7 , reszty 3 [tak mi się wydaje]
idąc dalej dochodzę do \(\displaystyle{ k=7m^2+6m+6 \Leftrightarrow 7m^2+6m+6-k=0}\) i rozwiązuję jak zwykłe równanie kwadratowe, wynika mi z tego, że delta będzie liczbą całkowitą jedynie dla k=6, ale nawet wtedy m nie będzie należało do zbioru liczb naturalnych, na podstawie tego fałszu, wynika, że liczba postaci 7k+3 nie może być kwadratem dowolnej liczby naturalnej ?

podobnie myślę, żebym zrobił dla drugiej liczby, ale czy takie rozwiązanie jest poprawne ???

[Nakahed90]

Na jakiej podstawie masz pierwszą równoważność? Prawa strona nie jest podzielna przez 7, a jej reszta z dzielania przez 7 jest 2.

[mediatoreczek]

sprawdziłem do dla kilku liczb
że np. \(\displaystyle{ 7*9 + 3 = 66 \Rightarrow 6/7 = 9 r 3}\)... dla dla kwadratów to nie zadziała, nie pomyślałem

ale to w takim razie, da się w ogóle tak zapisać prawą stronę aby podzielna była przez 7 z resztą 3 ?
znaczy, domyślałem się, że chyba chodzi o to, żeby udowodnić, że się nie da ?

[ares41]

Zakładamy, że \(\displaystyle{ 7k+3=n^2}\).
Za n podstawiamy liczbę parzystą \(\displaystyle{ (2p)}\) i dowodzimy, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ k \in N}\) spełniające podaną równość. Potem za n podstawiamy liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ (2p+1)}\) i dowodzimy to co poprzednio .
Analogicznie dla \(\displaystyle{ 7k+5}\)

[Nakahed90]

Masz równość \(\displaystyle{ 7k+3=n^2}\). Prawa strona przystaje do 3 modulu 7, teraz sprawdź do czego przystaje prawa strona modulo 7.

[mediatoreczek]

Nakahed90, wybacz, ale nie rozumiem z tego co napisałeś, co chcesz żebym sprawdził - trochę innymi słowami, jeśli mógłbym prosić ?

ares41, a więc tutaj chodzi po prostu o przyjęcie dowolnego formatu liczby, w sensie 2p - parzysta ; 2p+1 nieparzysta, bo zależnie od tego co podstawimy za k, lewa strona będzie albo parzysta albo nieparzysta ??

[Nakahed90]

Lewa strona tej równości przy dzielenie przez 7 daje resztę 3, sprawdź jaką resztę daje prawastrona.

[mediatoreczek]

ale to przecież zależy od tego, co podstawi się za n ?

[Dasio11]

W takim razie sprawdź, jakie mogą być reszty z dzielenia prawej strony przez 7 (wypisz wszystkie).

[mediatoreczek]

poczynając od n
\(\displaystyle{ =3 \ \ \frac{9}{7} \Rightarrow r=2 \\
=4 \ \ \frac{16}{7} \Rightarrow r=2 \\
=5 \ \ \frac{25}{7}\Rightarrow r=4 \\
=6 \ \ \frac{36}{7}\Rightarrow r=1 \\
=7 \ \ \frac{49}{7}\Rightarrow r=0 \\
=8 \ \ \frac{64}{7}\Rightarrow r=3 \\
=9 \ \ \frac{81}{7}\Rightarrow r=4 \\
=10 \ \ \frac{100}{7}\Rightarrow r=2}\)

do 10 wypisane, dalej nie wydaje mi się, żeby było trzeba

[Dasio11]

Łatwiej byłoby zacząć od n=1 - wtedy mógłbyś poprzestać na n=7, bo
\(\displaystyle{ 8 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \Rightarrow 8^2 \equiv 1^2 \ (\text{mod} \ 7) \\
9 \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7) \Rightarrow 9^2 \equiv 2^2 \ (\text{mod} \ 7) \\
\vdots}\)

Spójrz teraz na swoje reszty (poza 8, bo jest niepoprawnie wyliczone ;p). Żadna z nich nie wynosi \(\displaystyle{ 3}\) ani \(\displaystyle{ 5}\). To oznacza, że liczba postaci \(\displaystyle{ 7k+3}\) lub \(\displaystyle{ 7k+5}\) nie może być kwadratem liczby naturalnej.

[mediatoreczek]

no to fajnie, ale jak to zapisać matematycznie, takie wypisanie w słupku, to raczej nie jest to o co chodzi ??

czy pomysł ares41'a jest dobry ?

[adner]

Ale taki dowód jest jak najbardziej poprawny - nikt Ci nie każe wszystkiego dowodzić w tzw. sposób "matematyczny".

[mediatoreczek]

hmmm.... no ok, ale mimo wszystko zapisać tego dowodem nie wprost się nie da
w stylu
\(\displaystyle{ 7k+3 = (7n)^2 \\ 7k+3 = (7n+1)^2 \\ itd aż do np 3}\) i dla każdego z nich wykazać fałsz tego stwierdzenia ?