Sprawdzenie poprawności rozwiązanie dwóch przykładów

mediatoreczek · Post autor: **mediatoreczek** » 6 lis 2010, o 18:48

mam prośbę o sprawdzenie poprawności rozwiązania dwóch przykładów

Znaleźć wszystkie pary liczb naturalnych (a, b) spełniających równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7}}\)

przekształciłem równanie do postaci \(\displaystyle{ a = \frac{7b}{b-7}}\) i teraz aby a było liczbą naturalną, to prawa strona musi spełniać warunki
\(\displaystyle{ b-7 = 1 \Rightarrow b = 8}\) i z tego wynika, że a = 56

drugie
Znaleźć wszystkie pary liczb naturalnych (p, q) liczb pierwszych spełniających równanie
\(\displaystyle{ p^2 − 2q^2 = 1}\) przekształciłem do postaci \(\displaystyle{ (p-1)(p+1) = 2q^2}\) i z tego wypisałem dwa przypadki
\(\displaystyle{ \begin{cases} p - 1 = 2 \\ p+1=q^2 \end{cases} \vee \begin{cases} p - 1 = q^2 \\ p+1 = 2 \end{cases}}\) z czego jedynym słusznym i spełniającym warunki zadanie rozwiązaniem jest para liczb (3,2)

silvaran · Post autor: **silvaran** » 6 lis 2010, o 19:01

Dlaczego b-7 ma być równe 1?
A jesli \(\displaystyle{ b=14}\) to wtedy \(\displaystyle{ b-7=7 \neq 1}\) czyli a nie będzie liczbą naturalną, sprawdźmy. \(\displaystyle{ \frac{7 \cdot 14}{14-7} =14}\) Hmm...

mediatoreczek · Post autor: **mediatoreczek** » 6 lis 2010, o 19:52

znaczy kojarzyło mi się kiedyś jakieś podobne zadanie, ale chyba tamto musiało mieć coś jeszcze założone

hmm...
wychodzi na to, że b=7k, gdzie \(\displaystyle{ k \ge 2}\), bo dla k = 1 by się mianownik wyzerował, prawda ?

Ciamolek · Post autor: **Ciamolek** » 6 lis 2010, o 20:20

Drugie dobrze (zakładając, że zjadłeś 'minus' w równaniu, które rozwiązujesz

).

Pierwsze... po poprawce też wygląda w porządku.

Ciamolek

mediatoreczek · Post autor: **mediatoreczek** » 6 lis 2010, o 20:43

eee jaki minus ??

----

dobrze, ale zapisanie że b=7k, nie wydaje mi się, żeby to wystarczyło, niemniej jednak nie wiem jak to poprzeć teraz jakimś rozsądnym zapisem, chyba, że rozbicie 1 + {ułamek z mianownikiem k-1} wystarczy ?

ale nie jest wystarczająca, bo już od b=21 nie jest spełniony warunek przynależności do naturalnych-- 7 lis 2010, o 17:05 --niemniej jednak rozpisałem to wyrażenie, jeszcze dalej ->
\(\displaystyle{ a =8 + \frac{56}{b-7}}\)
i wynika z tego, że aby a było naturalne i były spełnione również założenie dla b, to b może się równać
\(\displaystyle{ b = 8 \Rightarrow a = 63 \\ b = 14 \Rightarrow a = 16\\ b = 21 \Rightarrow a = 12\\ b = 35 \Rightarrow a = 10\\ b = 63 \Rightarrow a = 9}\)

i to dopiero chyba jest prawidłowa odpowiedź