Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{ n^{5} + 3 }{ n^{2} +1 }}\) jest całkowita.
Dziękuję z góry za pomoc:)
liczba całkowita wartością ilorazu
-
Adamcio121
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 12 paź 2010, o 21:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
liczba całkowita wartością ilorazu
Ostatnio zmieniony 6 lis 2010, o 10:51 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Część postu usunięta ze względu na brak powiązania z działem, w którym post został umieszczony. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Część postu usunięta ze względu na brak powiązania z działem, w którym post został umieszczony. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
liczba całkowita wartością ilorazu
Mamy \(\displaystyle{ \frac{n^5+3}{n^2+1}=\frac{n^5+n^3-n^3-n+n+3}{n^2+1}=n^2-n+\frac{n+3}{n^2+1}}\).
Oczywiście liczba \(\displaystyle{ n^2}\) (więc także i różnica \(\displaystyle{ n^2-n}\)) ma wartość całkowitą dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\). Wystarczy zatem zbadać, dla jakich \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{n+3}{n^2+1}}\) jest całkowita.
Jest to na pewno możliwe tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n+3=0}\) lub \(\displaystyle{ \frac{|n+3|}{n^2+1}\ge 1}\). Z drugiej nierówności dostajemy \(\displaystyle{ |n+3|\ge n^2+1}\), skąd \(\displaystyle{ n+3\le -n^2-1}\) albo \(\displaystyle{ n+3\ge n^2+1}\). Zatem \(\displaystyle{ n^2+n+4\le 0}\) albo \(\displaystyle{ n^2-n-2\le 0}\). Pierwsza z otrzymanych nierówności jest sprzeczna, z drugiej dostajemy \(\displaystyle{ (n+1)(n-2)\le 0}\), tj. \(\displaystyle{ n\in\langle -1,2\rangle}\). Okazuje się (przez bezpośrednie sprawdzenie), że każda z liczb -1,0,1,2 jest rozwiązaniem problemu. Do tego dochodzi jeszcze liczba -3 (z przypadku rozważanego na początku \(\displaystyle{ n+3=0}\)).
Oczywiście liczba \(\displaystyle{ n^2}\) (więc także i różnica \(\displaystyle{ n^2-n}\)) ma wartość całkowitą dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\). Wystarczy zatem zbadać, dla jakich \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{n+3}{n^2+1}}\) jest całkowita.
Jest to na pewno możliwe tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n+3=0}\) lub \(\displaystyle{ \frac{|n+3|}{n^2+1}\ge 1}\). Z drugiej nierówności dostajemy \(\displaystyle{ |n+3|\ge n^2+1}\), skąd \(\displaystyle{ n+3\le -n^2-1}\) albo \(\displaystyle{ n+3\ge n^2+1}\). Zatem \(\displaystyle{ n^2+n+4\le 0}\) albo \(\displaystyle{ n^2-n-2\le 0}\). Pierwsza z otrzymanych nierówności jest sprzeczna, z drugiej dostajemy \(\displaystyle{ (n+1)(n-2)\le 0}\), tj. \(\displaystyle{ n\in\langle -1,2\rangle}\). Okazuje się (przez bezpośrednie sprawdzenie), że każda z liczb -1,0,1,2 jest rozwiązaniem problemu. Do tego dochodzi jeszcze liczba -3 (z przypadku rozważanego na początku \(\displaystyle{ n+3=0}\)).
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
liczba całkowita wartością ilorazu
\(\displaystyle{ \frac{n^5+3}{n^2+1}=n^3-n+\frac{n+3}{n^2+1}}\), zatem liczba \(\displaystyle{ \frac{n+3}{n^2+1}}\) musi być całkowita. Jeśli \(\displaystyle{ n=-3}\), to ok.
Jeśli nie, musi zachodzić \(\displaystyle{ \frac{|n+3|}{n^2+1} \ge 1}\), czyli \(\displaystyle{ |n+3| \ge n^2+1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n \le -3}\), to \(\displaystyle{ -n-3 \ge n^2+1}\), tzn. \(\displaystyle{ (n+\frac{1}{2})^2 \le -\frac{15}{4}}\) - fałsz.
Jeśli \(\displaystyle{ n>-3}\), to \(\displaystyle{ n+3 \ge n^2+1}\), czyli \(\displaystyle{ n \in <-1, 2>}\) oraz \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\). Dla \(\displaystyle{ n \in \lbrace -1, 0, 1, 2 \rbrace}\), liczba \(\displaystyle{ \frac{n+3}{n^2+1}}\) jest całkowita (sprawdzamy ręcznie).
Odpowiedź: \(\displaystyle{ n \in \lbrace -3, -1, 0, 1, 2 \rbrace}\).
Edit: ups, już jest rozwiązanie...
Jeśli nie, musi zachodzić \(\displaystyle{ \frac{|n+3|}{n^2+1} \ge 1}\), czyli \(\displaystyle{ |n+3| \ge n^2+1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n \le -3}\), to \(\displaystyle{ -n-3 \ge n^2+1}\), tzn. \(\displaystyle{ (n+\frac{1}{2})^2 \le -\frac{15}{4}}\) - fałsz.
Jeśli \(\displaystyle{ n>-3}\), to \(\displaystyle{ n+3 \ge n^2+1}\), czyli \(\displaystyle{ n \in <-1, 2>}\) oraz \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\). Dla \(\displaystyle{ n \in \lbrace -1, 0, 1, 2 \rbrace}\), liczba \(\displaystyle{ \frac{n+3}{n^2+1}}\) jest całkowita (sprawdzamy ręcznie).
Odpowiedź: \(\displaystyle{ n \in \lbrace -3, -1, 0, 1, 2 \rbrace}\).
Edit: ups, już jest rozwiązanie...