Liczby naturalne

[gelo21]

Witam mam problem z takim zadankiem: Rozwiązać w liczbach naturalnych x,y,z równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}=1}\). Proszę o pomoc

[witkal77]

KAŻDA Z NIEWIADOMYCH PRZYJMUJE WARTOŚCI 2 LUB 3 LUB 6.To jedyne rozwiązanie ponieważ jak przeniesiesz wyraz z na prawą stronę to otrzymasz warunek,że iloczyn x i y jest o 1 większy niz ich suma a to zachodzi tylko dla 2 i 3.

[Qń]

KAŻDA Z NIEWIADOMYCH PRZYJMUJE WARTOŚCI 2 LUB 3 LUB 6.

Więc \(\displaystyle{ x=y=4,z=2}\) nie jest rozwiązaniem? A w ogóle to CapsLock Ci się zacina.

Co do zadania - z uwagi na symetrię można bez utraty ogólności założyć, że \(\displaystyle{ x\le y \le z}\).
Jeśli \(\displaystyle{ x=1}\), to łatwo zauważyć, że równanie jest sprzeczne. Jeśli \(\displaystyle{ x=2}\) lub \(\displaystyle{ x=3}\), to łatwo dojść do wyników (co pozostawiam jako ćwiczenie). Natomiast gdyby \(\displaystyle{ x\ge 4}\), to także \(\displaystyle{ y,z\ge 4}\) i wówczas:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}<1}\)
więc rozwiązań nie ma.

Oczywiście w każdym przypadku trzeba wziąć pod uwagę wszystkie permutacje rozwiązań (z uwagi na poczynione założenie).

Q.