Wykaż że jeżeli liczba naturalna p ..

[patrykos91]

Mam duży problem z zadaniem:

"Wykazac, ze jezeli liczba naturalna p nie jest kwadratem liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest
liczba niewymierna."

Siedze nad dowodzeniem juz pol dnia , w pon. kolokwium , a przez to zadanie za chiny nie moge przebrnąć..

Najgorsze jest to że nawet nie wiem jak je podejść jak zacząć ..

Prosiłbym o wyjaśnienie/wskazówki/cokolwiek , nie koniecznie cale rozwiazanie ..

byle jak najbardziej łopatologicznie , bo już nie ogarniam .

Dziekuje z góry

[szw1710]

Spróbuj zanalizować dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). To pójdzie identycznie.

[ymar]

Dowód należy przeprowadzić nie wprost. Załóż, że je wymierna, czyli da się przedstawić jako ułamek nieprzywiedlny. Podnieś obie strony równości do kwadratu i popatrz, co się przez co musi dzielić. Na koniec ma się okazać, że ułamek był jednak przywiedlny, co da sprzeczność.

[patrykos91]

A w jaki sposób uwzględnić to: "jezeli liczba naturalna p nie jest kwadratem liczby naturalnej," ??

\(\displaystyle{ p \in N \wedge p \neq n ^{2} \wedge n \in N}\)

Zakładam że:

\(\displaystyle{ \sqrt{p} = \frac{m}{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ m \in N \wedge n \in N \wedge NWD(m,n)=1 .}\)

??

[pipol]

Rozważ wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^2 -p}\) jednym z jego pierwiastków jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{p}.}\) Jeśli jakakolwiek liczba wymierna \(\displaystyle{ q}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu to \(\displaystyle{ q|p}\) ale wówczas \(\displaystyle{ W(q)=q^2 -p \neq 0}\) (bo \(\displaystyle{ p}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej. Więc liczba \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) nie może być wymierna.

[patrykos91]

A czy robiąc to w sposób taki :

Dowodzimy że \(\displaystyle{ \wedge _{p \in N , k \in N}}\) \(\displaystyle{ p \neq k^{2} \Rightarrow \sqrt{p} \neq \frac{m}{n}}\) \(\displaystyle{ m,n \in N}\)

Załóżmy że : \(\displaystyle{ p \neq k ^{2} \wedge \sqrt{p} = \frac{m}{n}}\) \(\displaystyle{ m,n \in N \wedge NWD(m,n)=1}\)

Wiec:

\(\displaystyle{ \sqrt{p}= \frac{m}{n} \left| \right| ^{2}}\)

\(\displaystyle{ p= \frac{ m^{2}}{n^{2}}}\)

\(\displaystyle{ pn^{2}=m^{2}}\)

Wiec p jest dzielnikiem m . Można więc zapisać m jako \(\displaystyle{ m=p*z}\) gdzie \(\displaystyle{ z \in N}\)
Dostajemy wtedy że \(\displaystyle{ pn^{2}=(pz)^{2}}\)

Dalej \(\displaystyle{ pn^{2}=p^{2}*z^{2}}\)
Po podzieleniu obustronnie przez p dostajemy \(\displaystyle{ pz^{2}=n^{2}}\)

Z czego wychodzi że p dzieli zarówno m i n . A skoro z założenia że \(\displaystyle{ p \neq k ^{2}}\) wynika że p różne jest od 1 , to całość jest sprzeczna z założeniem że NWD(m,n)=1

..

Napisałem sie napisałem , a własciwie to nawet nie wiem czy coś udowodniłem tym "sposobem" .

W sumie na kolokwium na pomysł z rozważaniem wielomianu myśle że bym napewno nie wpadł , to próbuje bardziej przystępną mi metodą "nie wprost" ..

Udowodniłem cokolwiek ? czy to tylko bzdurne założenia które sprowadzają sie do niczego?

[balantajs]

pipol, mógłbyś wytłumaczyć to jaśniej? nie rozumiem czemu W(q)=q^2 -p
eq 0