nierówność(śr. arytmetyczna & geometryczna)

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
sportowiec1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: małopolska
Podziękował: 5 razy

nierówność(śr. arytmetyczna & geometryczna)

Post autor: sportowiec1993 »

udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych a,b zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)(a+b) \(\displaystyle{ \ge a \sqrt{b} +
b \sqrt{a}}\)

Ja to mniej więcej zacząłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)(a+b) =
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (a+b)(a+b) + \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (a+b) \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) =
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (a+b)(a+\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)+b+\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)) \(\displaystyle{ \ge}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (a+b)(\(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{b}}\))

czy ewentualnie móglby ktoś napisać,
jak to dokończyć i czy wogóle to jest dobrze zaczęte?
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

nierówność(śr. arytmetyczna & geometryczna)

Post autor: smigol »

Dobrze zaczęte i zasadniczo już najtrudniejszą część zadania zrobiłeś, jeszcze jedno przejście zostało.
ODPOWIEDZ