Wykaż, że wśród dowolnie wybranych 7 liczb całkowitych można znaleźć pewną liczbę kolejnych liczb,
których suma jest podzielna przez 7.
zasada dirichleta, podzileność
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: małopolska
- Podziękował: 5 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
zasada dirichleta, podzileność
Oznaczmy te liczby przez \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3... a_7}\). Rozważ reszty z dzielenia przez siedem sum elementów każdego ze zbiorów:
\(\displaystyle{ \lbrace a_1 \rbrace \\
\lbrace a_1, a_2 \rbrace \\
\lbrace a_1, a_2, a_3 \rbrace \\
\ \ \ \ \vdots \\
\lbrace a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 \rbrace}\)
\(\displaystyle{ \lbrace a_1 \rbrace \\
\lbrace a_1, a_2 \rbrace \\
\lbrace a_1, a_2, a_3 \rbrace \\
\ \ \ \ \vdots \\
\lbrace a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 \rbrace}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 24 cze 2010, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 3 razy
zasada dirichleta, podzileność
Zakładam, że nie może to też być jedna liczba podzielna przez 7, więc żadna z wybranych liczb nie może być podzielna przez 7....
będziemy wiec wybierać liczby z reszta dzielenia przez 7 ze zbioru A={1,2,3,4,5,6}
reszte z dzielenia liczby x przez 7 oznaczam \(\displaystyle{ R_x}\)
wybieramy pierwsza liczbę - możemy to zrobić na 6 sposobów (tak żeby reszta była 1-6)
x
wybieramy drugą liczbę - na 5 sposobow (\(\displaystyle{ (R_y \in A) \neq R_{x+y}}\))
x y
kolejną .. na 4 sposoby : \(\displaystyle{ (R_z \in A) \neq R_{y+z} \neq R_{x+y+z}}\)
x y z ...
itd.
wybierajac szosta liczbe .. nie mamy juz wyboru...
x y z p q r
bo \(\displaystyle{ (R_r \in A) \neq R_{q+r} \neq R_{p+q+r} \neq R_{z+p+q+r} \neq R_{y+z+p+q+r} \neq R_{x+y+z+p+q+r}}\)
wybierając siodmą liczbę dokonanie wyboru jest niemożliwe ponieważ wykorzystaliśmy juz cały pakiet
będziemy wiec wybierać liczby z reszta dzielenia przez 7 ze zbioru A={1,2,3,4,5,6}
reszte z dzielenia liczby x przez 7 oznaczam \(\displaystyle{ R_x}\)
wybieramy pierwsza liczbę - możemy to zrobić na 6 sposobów (tak żeby reszta była 1-6)
x
wybieramy drugą liczbę - na 5 sposobow (\(\displaystyle{ (R_y \in A) \neq R_{x+y}}\))
x y
kolejną .. na 4 sposoby : \(\displaystyle{ (R_z \in A) \neq R_{y+z} \neq R_{x+y+z}}\)
x y z ...
itd.
wybierajac szosta liczbe .. nie mamy juz wyboru...
x y z p q r
bo \(\displaystyle{ (R_r \in A) \neq R_{q+r} \neq R_{p+q+r} \neq R_{z+p+q+r} \neq R_{y+z+p+q+r} \neq R_{x+y+z+p+q+r}}\)
wybierając siodmą liczbę dokonanie wyboru jest niemożliwe ponieważ wykorzystaliśmy juz cały pakiet
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
zasada dirichleta, podzileność
daniello, co rozumiesz przez zapis \(\displaystyle{ (R_z \in A) \neq R_{y+z} \neq R_{x+y+z}}\)? Zdanie porównujesz z liczbą?
Poza tym, nie trzeba tylu linijek, żeby uzasadnić zasadę szufladkową Dirichleta dla \(\displaystyle{ n=6}\) ;p
Poza tym, nie trzeba tylu linijek, żeby uzasadnić zasadę szufladkową Dirichleta dla \(\displaystyle{ n=6}\) ;p
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 24 cze 2010, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 3 razy
zasada dirichleta, podzileność
zapis \(\displaystyle{ (R_z \in A) \neq R_{y+z} \neq R_{x+y+z}}\) to skrot myślowy ;p