Witam,
prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Podać czy zdanie jest prawdziwe:
"ostatnią cyrfą liczby 4^65 jest 4"
Doszedłem do wniosku że cztery podniesione do potęgi parzystej na ostatniej cyfrze ma 6 a cztery do potęgi nieparzystej ma czwórke, tylko że nie wiem jak udowodnić to matematycznie.
Za wszelką pomoc z góry dziękuję!!
podzielnosc 4^65
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
podzielnosc 4^65
A choćby tak:
\(\displaystyle{ 6^n\equiv 6\pmod {10}\\4^2\equiv 6 od {10}\\4^{2n}\equiv 6^n\equiv 6\pmod {10}\\4^{65}=4^{64}\cdot 4\equiv 6\cdot 4\equiv 4\pmod {10}}\)
\(\displaystyle{ 6^n\equiv 6\pmod {10}\\4^2\equiv 6 od {10}\\4^{2n}\equiv 6^n\equiv 6\pmod {10}\\4^{65}=4^{64}\cdot 4\equiv 6\cdot 4\equiv 4\pmod {10}}\)
podzielnosc 4^65
No niezłe, wielkie dzięki!!
[ Dodano: 16 Listopad 2006, 23:15 ]
A może jakieś prostsze rozwiązanie, to jest zadanie dla 1 klasy gimnazjum
[ Dodano: 16 Listopad 2006, 23:15 ]
A może jakieś prostsze rozwiązanie, to jest zadanie dla 1 klasy gimnazjum
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
podzielnosc 4^65
No to mniej więcej będzie coś takiego, jak Ty napisałeś (czyli dowód "gadany" ). Najlepiej wypisać kilka kolejnych potęg 4 i zauważyć, że ostatnie cyfry powtarzają się.