Pięciocyfrowe liczby naturalne podzielne przez 3

[KMO]

Treść zadania brzmi następująco:

Ile jest pięciocyfrowych liczb naturalnych, podzielnych przez 3 takich, że
a) środkowa cyfra jest równa d, dla d=0,1,...,9,
b) zawierają cyfrę d, dla d=0,1,...,9,
c) nie zawierają cyfry d, dla d=0,1,...9.

Podejrzewam, że to zadanie ma coś wspólnego z zasadą szufladkową (gdyż to zagadnienie mieliśmy wcześniej na zajęciach), ale nie wiem w ogóle jak to zapisać, ile przypadków trzeba rozważać. Wiem również, że liczba jest podzielna przez 3, wtedy gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Doszedłem do czegoś takiego (chociaż nie wiem czy mój tok rozumowania jest w tym przypadku właściwy):
c1 c2, d, c4, c5 \(\displaystyle{ \rightarrow}\) liczba będzie podzielna przez 3, gdy c1+c2+c4+c5 będą podzielne przez 3 i d będzie wynosiło 0, 3, 6 lub 9. Tylko ile jest takich liczb? I jak zapisać pozostałe przypadki?
Maksymalna suma będzie wtedy, gdy liczbą będzie 99999, wtedy suma=45.

Bardzo proszę o jakieś porady/wskazówki.

[BartekPwl]

[tip]
W przypadku a), gdy \(\displaystyle{ d\in\{0,3,6,9\}}\), jak zauważyłeś:

\(\displaystyle{ 3|[c_1c_2dc_3c_4]_{10}\iff 3|[c_1c_2c_3c_4]_{10}}\)

Ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\)? To jest dość proste. Najmniejsza z nich to \(\displaystyle{ 1002}\), a największa to \(\displaystyle{ 9999}\) i wiesz, że co trzecia jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Podpowiem jeszcze, że jest ich \(\displaystyle{ 3000}\). Dlaczego?
Dla pozostałych \(\displaystyle{ d}\) odpowiedź można wydedukować na podstawie tego, co tutaj otrzymałeś.

\(\displaystyle{ [ab]_c}\) oznacza liczbę w zapisie pozycyjnym przy podstawie \(\displaystyle{ a}\).

[KMO]

Dzięki powyższej wskazówce poradziłem sobie z podpunktem a. Niestety nadal nie bardzo wiem jak zabrać się za b i c. Czy to przypadkiem nie jest tak, że wystarczy od 3000 odjąć wyniki z podpunktu b (chyba będą 3 różne wyniki), a otrzyma się od razu ilość liczb nie zawierających liczby d?
W takim wypadku skoncentruję się wyłącznie na zadaniu b. Domyślam się, że trzeba je rozbić na 3 przypadki:
\(\displaystyle{ d \in \left\{ 0,3,6,9\right\}}\)
\(\displaystyle{ d \in \left\{ 1,4,7\right\}}\)
\(\displaystyle{ d \in \left\{ 2,5,8\right\}}\)

Jak to teraz zaimplementować do zasady szufladkowej?

[BartekPwl]

Podpunkt b) to to samo co podpunkt a). Jedyna różnica jest taka, że nie masz podanej pozycji danej cyfry. Ale, jak wiadomo, jeśli chodzi o podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\), to kolejność cyfr w danej liczbie nie ma znaczenia...