Wykazać, że jeśli suma 3 licz wynosi zero to suma ich szesci

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
ghostko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 1 lut 2009, o 23:25
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy

Wykazać, że jeśli suma 3 licz wynosi zero to suma ich szesci

Post autor: ghostko »

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a + b + c = 0}\) to \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc}\)
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Wykazać, że jeśli suma 3 licz wynosi zero to suma ich szesci

Post autor: tometomek91 »

\(\displaystyle{ a + b + c = 0\\
(a + b + c)^3 = 0\\
(a + b + c)^3 = a^{3} + b^{3} + c^{3}+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2b+3c^2a+6abc=\\
a^{3} + b^{3} + c^{3}+3a^2b+3a^2c+3abc+3b^2a+3b^2c+3abc+3c^2b+3c^2a+3abc-3abc=\\
=(a^{3} + b^{3} + c^{3})+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)-3abc=\\
=(a^{3} + b^{3} + c^{3})-3abc=0\\
a^{3} + b^{3} + c^{3}=3abc}\)

koniec
ODPOWIEDZ