Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie, ze 3p + 1 jest czwarta potęgą liczby naturalnej.
---
Niech p będzie liczbą pierwszą, taką że \(\displaystyle{ 3p+1=n ^{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ 3p+1=n^{4}}\)
\(\displaystyle{ 3p=(n-1)(n ^{3}+n ^{2} +n+1)}\)
dalej nie mam pomysłu, wydaje mi się, że trzeba przedstawić lewą stronę równania w postaci dwóch iloczynów ale nie mogę wpaść co to za liczby...
Znajdowanie wszystkich liczb pierwszych spełniających warun.
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Znajdowanie wszystkich liczb pierwszych spełniających warun.
Jeśli p jest pierwsza to masz tylko możliwości \(\displaystyle{ 3p=3\cdot p=3p\cdot 1}\)
- Vieshieck
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 19 cze 2007, o 08:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 59 razy
Znajdowanie wszystkich liczb pierwszych spełniających warun.
\(\displaystyle{ 3p+1=n^4}\)
\(\displaystyle{ 3p=n^4-1}\)
\(\displaystyle{ 3p=(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)
Możemy założyć, że n jest różne od 1 (gdyby było równe to 3p=0, więc p=0 nie jest l. pierwszą).
Już teraz widzimy, że jeśli n będzie nieparzyste, to prawa strona będzie podzielna przez 2. Wówczas lewa strona też musi być podzielna, a więc p jest podzielne przez 2. To daje nam 2 opcje:
p=2 lub p nie jest liczbą pierwszą (sprzeczne).
Rozpatrzmy więc przypadek gdy p=2. Wówczas
\(\displaystyle{ n^4=7}\)
Oczywiście żadna liczba naturalna nie jest rozwiązaniem tego równania.
Jeśli zaś n będzie parzyste, to:
Przyjmijmy teraz, że n jest liczbą parzystą.
Zauważmy, że mamy 3 możliwości:
1) reszta z dzielenia n przez 3 wynosi 1
2) reszta z dzielenia n przez 3 wynosi 2
3) n dzieli się przez 3
Rozpatrzmy te przypadki:
1) Wówczas (n-1) dzieli się przez 3. Po skróceniu dostajemy p jako iloczyn 3 liczb, więc nie jako liczbę pierwszą.
2) Wówczas (n+1) dzieli się przez 3. Po skróceniu dostajemy p jako iloczyn 3 liczb, więc nie jako liczbę pierwszą.
3) Gdy n jest liczbą podzielną przez 3, to \(\displaystyle{ n^4}\) także. Jednak \(\displaystyle{ n^4}\)=3p+1. Prawa strona na pewno nie jest podzielna przez 3, więc znów dostajemy sprzeczność.
Wynika stąd, że nie ma liczby pierwszej, która spełnia to równanie.
Zawiłe, ale mam nadzieję, że bez błędów
\(\displaystyle{ 3p=n^4-1}\)
\(\displaystyle{ 3p=(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)
Możemy założyć, że n jest różne od 1 (gdyby było równe to 3p=0, więc p=0 nie jest l. pierwszą).
Już teraz widzimy, że jeśli n będzie nieparzyste, to prawa strona będzie podzielna przez 2. Wówczas lewa strona też musi być podzielna, a więc p jest podzielne przez 2. To daje nam 2 opcje:
p=2 lub p nie jest liczbą pierwszą (sprzeczne).
Rozpatrzmy więc przypadek gdy p=2. Wówczas
\(\displaystyle{ n^4=7}\)
Oczywiście żadna liczba naturalna nie jest rozwiązaniem tego równania.
Jeśli zaś n będzie parzyste, to:
Przyjmijmy teraz, że n jest liczbą parzystą.
Zauważmy, że mamy 3 możliwości:
1) reszta z dzielenia n przez 3 wynosi 1
2) reszta z dzielenia n przez 3 wynosi 2
3) n dzieli się przez 3
Rozpatrzmy te przypadki:
1) Wówczas (n-1) dzieli się przez 3. Po skróceniu dostajemy p jako iloczyn 3 liczb, więc nie jako liczbę pierwszą.
2) Wówczas (n+1) dzieli się przez 3. Po skróceniu dostajemy p jako iloczyn 3 liczb, więc nie jako liczbę pierwszą.
3) Gdy n jest liczbą podzielną przez 3, to \(\displaystyle{ n^4}\) także. Jednak \(\displaystyle{ n^4}\)=3p+1. Prawa strona na pewno nie jest podzielna przez 3, więc znów dostajemy sprzeczność.
Wynika stąd, że nie ma liczby pierwszej, która spełnia to równanie.
Zawiłe, ale mam nadzieję, że bez błędów
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz
Znajdowanie wszystkich liczb pierwszych spełniających warun.
Dzięki wielkie Panowie,
Nie wiem jednak dlaczego przy rozpatrywaniu przypadków wybrałeś w 1) (n-1) i w 2) (n+1)
To jest tutaj:
Moglibyście mi to wyjaśnić?
PS: wydaje mi się, że zrobiłeś błąd przy rozpatrywaniu gdy n jest równe 0, chyba pominąłeś jedynkę
Dzięki jeszcze raz
Nie wiem jednak dlaczego przy rozpatrywaniu przypadków wybrałeś w 1) (n-1) i w 2) (n+1)
To jest tutaj:
Kod: Zaznacz cały
1) Wówczas (n-1) dzieli się przez 3. Po skróceniu dostajemy p jako iloczyn 3 liczb, więc nie jako liczbę pierwszą.
2) Wówczas (n+1) dzieli się przez 3. Po skróceniu dostajemy p jako iloczyn 3 liczb, więc nie jako liczbę pierwszą.
PS: wydaje mi się, że zrobiłeś błąd przy rozpatrywaniu gdy n jest równe 0, chyba pominąłeś jedynkę
Dzięki jeszcze raz
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Znajdowanie wszystkich liczb pierwszych spełniających warun.
Vieshieck,
Przypadek drugi jest nie do końca dobry ... Chociażby dlatego, że otrzymujemy conajmniej iloczyn dwóch liczb, a nie trzech.
Przecież dla p=5 mamy 16, a to przecież czwarta potęga dwójki.
Przypadek drugi jest nie do końca dobry ... Chociażby dlatego, że otrzymujemy conajmniej iloczyn dwóch liczb, a nie trzech.
Przecież dla p=5 mamy 16, a to przecież czwarta potęga dwójki.
-
- Użytkownik
- Posty: 284
- Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 36 razy
Znajdowanie wszystkich liczb pierwszych spełniających warun.
\(\displaystyle{ 3p=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\)
Ręcznie sprawdzamy przypadek p=2, teraz dla \(\displaystyle{ p \ge 3}\) zapisujemy:
\(\displaystyle{ 1*3*p=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\)
Dla \(\displaystyle{ n \ge 1 \Rightarrow (n-1)<(n+1)<(n^{2}+1)}\) Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} n-1=1 \\ n+1=3 \\ n^{2}+1=p \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ p=5}\) spełnia warunki zadania.
Ręcznie sprawdzamy przypadek p=2, teraz dla \(\displaystyle{ p \ge 3}\) zapisujemy:
\(\displaystyle{ 1*3*p=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\)
Dla \(\displaystyle{ n \ge 1 \Rightarrow (n-1)<(n+1)<(n^{2}+1)}\) Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} n-1=1 \\ n+1=3 \\ n^{2}+1=p \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ p=5}\) spełnia warunki zadania.