Witam, mam problem z takim zadankiem potrafię dowodzić do pewnego momentu, ale sam nie wiem czy to jest dobrze, ani jak to kontynuować.
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) takie, ze \(\displaystyle{ 4p - 1}\) jest sześcianem liczby naturalnej.
-----
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, taką że \(\displaystyle{ 4p-1=n ^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
Widać, że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą. Więc możemy zapisać ją w postaci gdzie tę nieparzystość widać:
\(\displaystyle{ n=2k+1}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} \cup \{0\}}\)
Liczę dalej:
\(\displaystyle{ 4p-1=(2k+1) ^{3}}\)
\(\displaystyle{ 2p=4k^{3}+6k^{2}+3k+1}\)
dalej nie mam pomysłu...
Znalezc wszystkie liczby pierwsze będące sześcianami.
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz
Znalezc wszystkie liczby pierwsze będące sześcianami.
Ostatnio zmieniony 1 lis 2010, o 11:20 przez Marshall32, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znalezc wszystkie liczby pierwsze będące sześcianami.
Wskazówka - zacznij od zapisania równości w postaci:
\(\displaystyle{ 4p=(n+1)(n^2-n+1)}\)
i zastanów się jakie rozkłady na iloczyn dwóch czynników może mieć lewa strona.
Q.
\(\displaystyle{ 4p=(n+1)(n^2-n+1)}\)
i zastanów się jakie rozkłady na iloczyn dwóch czynników może mieć lewa strona.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz
Znalezc wszystkie liczby pierwsze będące sześcianami.
Szczerze mówiąc, nie wiem jakie dobrać dwa te czynniki... żebym coś z tego było widać
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz
Znalezc wszystkie liczby pierwsze będące sześcianami.
Dzielniki to: 4p, 2p, p. Rozważyłem wszystkie dzielniki i tylko w przypadku \(\displaystyle{ p \cdot 4}\) rozwiązaniem jest liczba pierwsza.
\(\displaystyle{ 4 \cdot p = (n+1)(n^{2}-n+1)}\)
\(\displaystyle{ n+1=4}\)
\(\displaystyle{ n ^{2} -n+1=p}\)
\(\displaystyle{ 3^{2} -3+1=p}\)
\(\displaystyle{ p=7}\)
Dobrze to zrobiłem?
\(\displaystyle{ 4 \cdot p = (n+1)(n^{2}-n+1)}\)
\(\displaystyle{ n+1=4}\)
\(\displaystyle{ n ^{2} -n+1=p}\)
\(\displaystyle{ 3^{2} -3+1=p}\)
\(\displaystyle{ p=7}\)
Dobrze to zrobiłem?