NWD i NWW Zadania

[choko]

Oto parę zadań z którymi mam problem, żeby ktoś nie pomyślał że chcę gotowca powiem że wiele już zrobiłem z tymże tych nie potrafię:
8.W liczbach całkowitych rozwiąż równanie:
(a)\(\displaystyle{ 1001x+286y+312z=(1001,286,312)}\) Obliczyłem że NWD dwóch pierwszych to 143, o wsztstkich trzech to 13. Z tego pierwszego mam że \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ y=-3}\), gdy to podstawie ostatnia niewiadoma wychodzi jako taki dziwny ułamek...
(b)\(\displaystyle{ 420x+1115y+630z=(420,1115,630)}\)
9. Czy dla każdej n naturalnej ułamki są nieskaracalne
(a)\(\displaystyle{ \frac{2n-1}{9n+4}}\)
(b)\(\displaystyle{ \frac{11n+2}{18n+5}}\)
Wiem, że należy zastosować tu algorytm dzielenia z resztą, ale pierwszym przeszkadza mi ten minus, a drugim również dochodzę do monętu z minusem:(
11. Udowodnij, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{2n^{2}+8n+4}{2n^{2}+6n+3}}\) jest nieskracalny.
12. Rozwiąż w naturalnych układy równań
(c)\(\displaystyle{ [x,2y]=308, (3x,5y)=7}\)
(d)\(\displaystyle{ xy=240, [x,y]+(x,y)=64}\)
W d doszedłem do momentu \(\displaystyle{ d^{2}(x_1,y_1)[x_1,y_1]=240}\) \(\displaystyle{ d(x_1,y_1)+d[x_1,y_1]=64}\). Podstawiam zmienną t i mam \(\displaystyle{ d^[x_1,y_1]=4}\) \(\displaystyle{ d(x_1,y_1)+60}\) lub na odwrót i co dalej?

[smigol]

8. Co oznacza ten zapis? Chodzi o to, że \(\displaystyle{ (1001,286,312)=NWD(1001,286,312)}\), czyli trzeba rozwiązać: \(\displaystyle{ 1001x+286y+312z=13}\)?
9. Algorytm Euklidesa, czyli de facto dzielenie z resztą.
11. Jak 9. Z tym, że najpierw rozpisz licznik na \(\displaystyle{ 2n^{2}+6n+3+2n+1}\).
12. \(\displaystyle{ (x,y)}\) to NWD liczb \(\displaystyle{ x,y}\), a \(\displaystyle{ [x,y]}\) to NWW liczb \(\displaystyle{ x,y}\)?

[choko]

8. i 12. tak dokładnie tak jak myślisz.
Odnośnie tego dzielenia z resztą spróbuj rozpisać a zobaczysz że nie takie łatwe...

[smigol]

9. a/ n=9, można skrócić przez 17. Można to też uzasadnić w ten sposób, że: \(\displaystyle{ -9(2n-1)+2(9n+4)=17=(2n-1,9n+4)}\)
b/ Podobnie jak a/ tutaj się okaże, że (11n+2,18n+5)=19.

[choko]

Pomoże ktoś w 8 i 12? No a w 11. przedstawiłem to jako \(\displaystyle{ \frac{2n^2+6n+3+2n+1}{2n^2+6n+3}=1+\frac{2n+1}{2n^2+6n+3}}\). No i mam \(\displaystyle{ 2n^2+6n+3=3*(2n+1)+2n^2}\). Czyli \(\displaystyle{ 2n^2}\) jest między zerem a \(\displaystyle{ 2n+1}\) z wzorku \(\displaystyle{ 0 \le r \le b}\) i klopsik bo tylko dla jedynki się zgadza a nie wszystkich naturalnych...

[anna_]

8.
a)
\(\displaystyle{ 1001x+286y+312z=13}\)

\(\displaystyle{ 77x + 22y + 24z = 1}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{-22y -24z +1}{77}}\)

czyli \(\displaystyle{ -22y -24z +1}\) musi być wielokrotnością \(\displaystyle{ 77}\)

\(\displaystyle{ -22y -24z +1=77 \Rightarrow y= \frac{- 12z - 38}{11}}\)

więc \(\displaystyle{ - 12z - 38}\) musi być wielokrotnością \(\displaystyle{ 11}\)

\(\displaystyle{ - 12z - 38=11 \Rightarrow z= -\frac{49}{12} \notin C}\)

\(\displaystyle{ - 12z - 38=22 \Rightarrow z=-5}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{- 12z - 38}{11}= \frac{- 12 \cdot (-5) - 38}{11} =2}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{-22 \cdot 2 -24 \cdot (-5) +1}{77}=1}\)

Mam jedną trójkę.
Musi być jakiś inny sposób, bo ten jest zbyt pracochłonny.

[choko]

dzięki za chociaż tyle:)

[anna_]

To 12 może tak:

12. Rozwiąż w naturalnych układy równań
(d)
\(\displaystyle{ xy=240, [x,y]+(x,y)=64}\)

\(\displaystyle{ NWW(x,y)+NWD(x,y)=64}\)
\(\displaystyle{ NWW(x,y)= \frac{xy}{NWD(x,y)} \Rightarrow xy=NWW(x,y) \cdot NWD(x,y)}\)

Z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} NWW(x,y) \cdot NWD(x,y) =240 \\ NWW(x,y)+ NWD(x,y)=64 \end{cases}}\)
otrzymamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} NWD(x,y)=4 \\ NWW(x,y)=60 \end{cases}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ NWD(x,y)=4}\),więć liczby x i y można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ x=4n}\) i \(\displaystyle{ y=4m}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\) to liczby pierwsze (w przeciwnym wypadku największym dzielnikiem nie byłaby 4)

\(\displaystyle{ 4n \cdot 4m=240}\)

\(\displaystyle{ 16nm=240}\)

\(\displaystyle{ nm=15}\)

Mogą zajść tylko przypadki

\(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ m=5}\)
lub
\(\displaystyle{ n=5}\) i \(\displaystyle{ m=3}\)
czyli \(\displaystyle{ x=12}\) i \(\displaystyle{ y=20}\)
lub
\(\displaystyle{ x=20}\) i \(\displaystyle{ y=12}\)