analiza- dowody

[mrowkazzzzz]

1. udowodnij metoda nie wprost ze suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczba niewymierną.
2. wykaz ze jesli liczby a,b,c sa trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego to:
3\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}+d ^{2}=6(a-b) ^{2}+(a+b+c) ^{2}}\)
3.liczby całkowite a,b,c,d spełniaja warunek a+b+c+d=0. udowodnij ze liczba
\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2}+c ^{2}+d ^{2}}\) jest suma kwadratow trzech liczb całkowitych

[Vax]

3) \(\displaystyle{ a+b+c+d=0 \Leftrightarrow d=-(a+b+c)}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2 = a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = 2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac = (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}\)

Pozdrawiam.

[jackm41]

1.)
Niech a \(\displaystyle{ \in}\) W, b \(\displaystyle{ \in}\) NW, a c \(\displaystyle{ \in}\) W. Użyję metody nie wprost, więc na początku zakładam, że suma liczby wymiernej i niewymiernej jest wymierna.
\(\displaystyle{ a+b=c \\
a= \frac{p}{q} , p \in C,q \in C,NWD(p,q)=1 \\
c=\frac{r}{s} , r \in C, s \in C, NWD (r,s)=1 \\
\frac{p}{q} + b = \frac{r}{s} \\
b= \frac{r}{s} - \frac{p}{q} \\
b=\frac{qr}{sq} - \frac{ps}{sq} \\
b=\frac{qr-ps}{sq} \\}\)
Ostatnia nierówność pokazuje, że b jest wymierne, co oczywiście jest niezgodne z warunkami zadania. Więc suma liczby wymiernej i niewymiernej jest na pewno niewymierna.