Znana jest suma dwóch liczb i ich NWD. Wynika stąd, że:

[ala1609]

Suma dwóch różnych liczb naturalnych (dodatnich) \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wynosi \(\displaystyle{ 768}\), a ich największy wspólny dzielnik to \(\displaystyle{ 192}\). Wynika stąd że:
1) \(\displaystyle{ a=3b}\) lub \(\displaystyle{ b=3a}\)
2) \(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}}\)
3) \(\displaystyle{ |a-b|=384}\)
Odpowiedzieć trzeba które zdanie jest prawdziwe i uzasadnić

[Piotrek5000]

1. 192 i 576 spelniaja te rownanie nad reszta pomysl sam

[ala1609]

no ale skad wiesz jak do tego doszedłes ja tego nie rozumiem

[SaxoN]

\(\displaystyle{ 192|x\Leftrightarrow x=192k}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\) zatem \(\displaystyle{ a=192a'}\) oraz \(\displaystyle{ b=192b'}\), przy czym \(\displaystyle{ NWD(a',b')=1}\). Ponadto \(\displaystyle{ 768=a+b=192(a'+b')\Leftrightarrow a'+b'=4}\). Jedynymi względnie pierwszymi liczbami o sumie \(\displaystyle{ 4}\) są liczby \(\displaystyle{ \{a',b'\}=\{1,3\}}\), co już bezpośrednio prowadzi do odpowiedzi udzielonej przez Piotrek5000 ^^

[ala1609]

a skąd to a' i b'

[SaxoN]

Jeżeli liczba \(\displaystyle{ a}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 192}\) to znaczy, że da się ją przedstawić jako iloczyn \(\displaystyle{ 192}\) oraz jakiejś innej liczby naturalnej- tę drugą liczbę nazwałem \(\displaystyle{ a'}\). Analogicznie postąpiłem z \(\displaystyle{ b}\). To nic innego jak wykorzystanie definicji podzielności liczb naturalnych. ^^

[ala1609]

no ale skad wiesz ze jest podzielna przez 192 wskad wiadomo e NWD to 1 i skad bierze sie to 4. musze to wiedziec bo potem nie bede umiała pani wytlumaczyc

[pawelsuz]

NWD to największy wspólny dzielnik więc dzieli obie te liczby. Skoro a jest podzielne przez \(\displaystyle{ 192}\) to można to przedstawić jako \(\displaystyle{ 192 \cdot a'}\), gdzie \(\displaystyle{ a'}\) jest pewną liczbą naturalną. Analogicznie dla b. \(\displaystyle{ a'}\) i \(\displaystyle{ b'}\) nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego od jeden bo gdyby tak było (powiedzmy dla jakiegos \(\displaystyle{ p}\)) to a i b dzieliłyby się przez \(\displaystyle{ 192p>192}\) wbrew temu ze \(\displaystyle{ NWD(a,b)=192}\). 4 bierze się stąd jak tamto równanie obustronnie podzielisz przez 192.

[ala1609]

oki to juz kaspuje ale co dalej

[SaxoN]

Dalej jest to, co napisałem w swoim pierwszym poście w tym temacie

[ala1609]

ale to jak licze to mi wychodzi ze\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}=8\sqrt{3}+24}\) a nie tak jak w tym srugim zdaniu a w odpowiedziach jest ze wszystkie zdania sa prawdziwe

-- 26 paź 2010, o 21:29 --

\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}=8\sqrt{3}+22}\)

[SaxoN]

Em... Popraw nieco post, bo nie da sie go czytać. To co napisałaś oznacza, że w odpowiedziach lub treści zadania jest błąd lub że się pomyliłaś w liczeniu

[ala1609]

no własnie nie wiem dlaczego tak sie napisało no to zapytam jutro pani i dzieki za pomoc:)