Witam, mam problem z dowodem poniższej nierówności i proszę o pomoc
dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 2, n \in N \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{n}}\)
udowodnić nierówność
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
udowodnić nierówność
Indukcja po n:
Zał:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{n}}\)
Teza:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{n+1}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} }+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}> \sqrt{n+1}}\)
Ostatnia nierówność jest oczywista po paru przekształceniach.
Zał:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{n}}\)
Teza:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{n+1}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} }+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}> \sqrt{n+1}}\)
Ostatnia nierówność jest oczywista po paru przekształceniach.