Kongruencja - dowód

[Ramzev]

Prosiłbym o pomoc w zadaniu:

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ a \equiv b (\mod{m})}\), to \(\displaystyle{ ac \equiv bc (\mod{m})}\).

Chodzi mi o dowód powyższej zależności.

Sam doszedłem do czegoś takiego:

Z \(\displaystyle{ a \equiv b (\mod{m})}\) wynika, że \(\displaystyle{ m|a-b}\). Zaś \(\displaystyle{ ac \equiv bc (\mod{m})}\) jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ m|(a-b)c}\).

Ale nie zawsze z faktu, że \(\displaystyle{ m|a-b}\) wynika, że \(\displaystyle{ m|(a-b)c}\).

Przykład:

\(\displaystyle{ 10|17-7}\) ale \(\displaystyle{ 10\nmid(17-7) \cdot 2}\)

Jak zatem to udowodnić?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ a \equiv b (\mod{m}) \iff a=b+km}\), dla pewnego całkowitego k.

[pawels]

Przykład:

\(\displaystyle{ 10|17-7}\) ale \(\displaystyle{ 10\nmid(17-7) \cdot 2}\)

Jak zatem to udowodnić?

Wydaje mi się, że powinieneś tylko uważniej przeczytać to co napisałeś. Odnoszą wrażenie, że zarówno 10 jak i 20 jest podzielne przez 10. Fakt, że \(\displaystyle{ m\mid (a-b)\Rightarrow m\mid (a-b)c}\) dowodzi się bezpośrednio z definicji podzielności.

[Ramzev]

pawels, faktycznie.

Nie wiem jak mogłem się zaplątać w tak prostej rzeczy.

\(\displaystyle{ m\mid (a-b)\Rightarrow m\mid (a-b)c}\) jest tak intuicyjne, że nie wymaga żadnego dowodu.