suma sześcianów liczb

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
miko1506
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 15 paź 2010, o 10:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

suma sześcianów liczb

Post autor: miko1506 »

Witam, mam problem w zrozumieniu trzech przekształceń i proszę o jego wytłumaczenie bądź o bardziej szczegółowe rozpisanie

1.
\(\displaystyle{ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + .. + n^{3} = \frac{1}{4} \cdot n^{2} \cdot (n + 1)^{2}}\)

2.
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1))^{2} = (1 + 2 + 3 + .. + n)^{2}}\)

3.
\(\displaystyle{ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + .. + n^{2} = \frac{1}{6} \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}\)

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 23 paź 2010, o 12:02 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

suma sześcianów liczb

Post autor: smigol »

Najprościej to udowodnij je indukcyjnie. Jak nie dasz rady to na forum wielokrotnie się przewijały identyczne problemy.
miko1506
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 15 paź 2010, o 10:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

suma sześcianów liczb

Post autor: miko1506 »

znalazłem na forum dowód indukcyjny udowadniający, że

\(\displaystyle{ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + .. + n^{3} = (1 + 2 + 3 + .. + n)^{2}}\)

i to jest on:
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3})+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+k(k+1)^2+(k+1)^2=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}.}\)

nie rozumiem tylko jednego przekształcenia:

\(\displaystyle{ (1+2+3+...+k)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}}\)
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

suma sześcianów liczb

Post autor: Afish »

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
miko1506
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 15 paź 2010, o 10:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

suma sześcianów liczb

Post autor: miko1506 »

a no faktycznie dzięki.

To teraz wracam do mojego pierwszego pytania bo w tym dowodzie nie ma czegoś taiego jak
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot n^{2} \cdot (n + 1)^{2}}\)

i nadal nie wiem skąd to się wzięło ;/
abc666

suma sześcianów liczb

Post autor: abc666 »

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego.
ODPOWIEDZ