Witam, mam problem w zrozumieniu trzech przekształceń i proszę o jego wytłumaczenie bądź o bardziej szczegółowe rozpisanie
1.
\(\displaystyle{ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + .. + n^{3} = \frac{1}{4} \cdot n^{2} \cdot (n + 1)^{2}}\)
2.
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1))^{2} = (1 + 2 + 3 + .. + n)^{2}}\)
3.
\(\displaystyle{ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + .. + n^{2} = \frac{1}{6} \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}\)
Pozdrawiam
suma sześcianów liczb
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 15 paź 2010, o 10:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
suma sześcianów liczb
Ostatnio zmieniony 23 paź 2010, o 12:02 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 15 paź 2010, o 10:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
suma sześcianów liczb
znalazłem na forum dowód indukcyjny udowadniający, że
\(\displaystyle{ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + .. + n^{3} = (1 + 2 + 3 + .. + n)^{2}}\)
i to jest on:
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3})+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+k(k+1)^2+(k+1)^2=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}.}\)
nie rozumiem tylko jednego przekształcenia:
\(\displaystyle{ (1+2+3+...+k)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + .. + n^{3} = (1 + 2 + 3 + .. + n)^{2}}\)
i to jest on:
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3})+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+k(k+1)^2+(k+1)^2=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}.}\)
nie rozumiem tylko jednego przekształcenia:
\(\displaystyle{ (1+2+3+...+k)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 15 paź 2010, o 10:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
suma sześcianów liczb
a no faktycznie dzięki.
To teraz wracam do mojego pierwszego pytania bo w tym dowodzie nie ma czegoś taiego jak
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot n^{2} \cdot (n + 1)^{2}}\)
i nadal nie wiem skąd to się wzięło ;/
To teraz wracam do mojego pierwszego pytania bo w tym dowodzie nie ma czegoś taiego jak
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot n^{2} \cdot (n + 1)^{2}}\)
i nadal nie wiem skąd to się wzięło ;/