Znajdź wszystkie pary różnych liczb pierwszych

[slonik07]

Witam.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań:

1. Znajdź wszystkie pary różnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p, q}\) spełniające równanie \(\displaystyle{ pq = 140 - p^{2}}\)
2. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych, których iloczyn jest pięciokrotnie większy od ich sumy.
3. Znajdź wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p, q}\) takie, że \(\displaystyle{ 6p - 22q = 12}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

[anna_]

1.

\(\displaystyle{ pq = 140 - p^{2}}\)
\(\displaystyle{ pq+p^2 = 140}\)
\(\displaystyle{ p(q+p)= 140}\)
wynika stąd, że \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 140}\)
Dzieliniki pierwsze \(\displaystyle{ 140}\)to \(\displaystyle{ 2,5,7}\), czyli

\(\displaystyle{ p=2 \Rightarrow q+p=70 \Rightarrow q+2=70 \Rightarrow q=68}\)
odrzucamy bo 68 nie jest liczbą pierwszą

\(\displaystyle{ p=5 \Rightarrow q+p=28 \Rightarrow q+5=28 \Rightarrow q=23}\)

\(\displaystyle{ p=7 \Rightarrow q+p=20 \Rightarrow q+7=20 \Rightarrow q=13}\)

[jackm41]

3.
\(\displaystyle{ 6p-22q=12 \\
6p=12+22q \\
3p=6+11q \\
p=2+ \frac{11q}{3} \\}\)
11 nie jest podzielne 3, a 11q MUSI być podzielne przez 3, bo w innym przypadku p nie wyszło by naturalne, więc q musi być podzielne przez 3. A znamy niewiele liczb pierwszych dzielących się przez 3.
\(\displaystyle{ q=3}\)
Podstawiamy do równania i wychodzi, że \(\displaystyle{ p=13}\).

[anna_]

2.
\(\displaystyle{ abc=5(a+b+c)}\)
Jedna z liczb musi więc być równa \(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ a=5}\)

\(\displaystyle{ 5bc=5(5+b+c)}\)
\(\displaystyle{ bc=5+b+c}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{c+5}{c-1}}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{6}{c-1}+1}\)
\(\displaystyle{ c \neq 1}\)

Dzielniki 6 to \(\displaystyle{ 2,3,6}\)
Stąd
\(\displaystyle{ c-1=2 \Rightarrow c=3}\)
\(\displaystyle{ c-1=3 \Rightarrow c=4}\) - odrzucamy
\(\displaystyle{ c-1=6 \Rightarrow c=7}\)

Wystarczy policzyć \(\displaystyle{ b}\) (b też musi być liczbą pierwszą)