Witam,
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak trzeba udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\) jest niewymierna?
Napiszę tyle ile potrafię.
Przypuśćmy, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\) jest liczbą wymierną i da się ją przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{m}{n}=\sqrt{7}}\), gdzie \(\displaystyle{ m \wedge n \in N}\) i są względnie pierwsze.
\(\displaystyle{ \sqrt{7} = \frac{m}{n}}\)
\(\displaystyle{ 7n ^{2} =m ^{2}}\)
Potrafię udowodnić to, stosując twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu, ale wiem że istnieje inny i chyba lepszy sposób, proszę o pomoc.
Udowodnij że liczba ... jest niewymierna
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij że liczba ... jest niewymierna
Skoro \(\displaystyle{ 7n^2=m^2}\), to siódemka dzieli lewą stronę, musi więc dzielić też prawą. Stąd \(\displaystyle{ m=7m'}\) i po podstawieniu dostajemy:
\(\displaystyle{ n^2=7m'^2}\)
Analogicznie dostajemy teraz, że \(\displaystyle{ n=7n'}\), a to już sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ m,n}\) miały być względnie pierwsze.
Q.
\(\displaystyle{ n^2=7m'^2}\)
Analogicznie dostajemy teraz, że \(\displaystyle{ n=7n'}\), a to już sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ m,n}\) miały być względnie pierwsze.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz