Liczby całkowite

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
gelo21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 24 kwie 2009, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Liczby całkowite

Post autor: gelo21 »

Witam mam problem z rozwiązaniem takiego zadanka :
Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ n,m}\) są sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych, to także \(\displaystyle{ n^2, 2n, nm}\) są sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych, Proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 17 paź 2010, o 19:33 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
patryk_elk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 16 paź 2010, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 11 razy

Liczby całkowite

Post autor: patryk_elk »

załóżmy
\(\displaystyle{ n=k^{2}+l^{2}}\)
\(\displaystyle{ m=x^{2}+y^{2}}\)
1) \(\displaystyle{ n^{2}= k^{4}+k^{2}l^{2}+k^{2}l^{2}+l^{4}=k^{2}(k^{2}+l^{2})+L^{2}(k^{2}+l^{2})=(kn)^{2}+(ln)^{2}}\)
2)\(\displaystyle{ 2n=2k^{2}+2l^{2}=2(k+l)^{2}-4kl=(k+l)^{2}+(k-l)^2}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Liczby całkowite

Post autor: Dasio11 »

Niech \(\displaystyle{ n=a^2+b^2, \quad m=c^2+d^2}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ n^2=(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2 \\
2n=2a^2+2b^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2 \\
m \cdot n = \bigl( a^2+b^2 \bigr) \bigl( c^2 + d^2 \bigr) = \bigl(ac-bd\bigr)^2+\bigl(bc+ad\bigr)^2}\)
.
gelo21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 24 kwie 2009, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Liczby całkowite

Post autor: gelo21 »

Dziękuję za rozwiązanie
Awatar użytkownika
SaxoN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

Liczby całkowite

Post autor: SaxoN »

patryk_elk pisze:załóżmy
\(\displaystyle{ n=k^{2}+l^{2}}\)
\(\displaystyle{ m=x^{2}+y^{2}}\)
1) \(\displaystyle{ n^{2}= k^{4}+k^{2}l^{2}+k^{2}l^{2}+l^{4}=k^{2}(k^{2}+l^{2})+L^{2}(k^{2}+l^{2})=(kn)^{2}+(ln)^{2}}\)
No generalnie magia... U Ciebie jest \(\displaystyle{ n=k^2+l^2=n^2}\). Uważaj na takie trywialne błędy ^^
ODPOWIEDZ