Witam mam problem z rozwiązaniem takiego zadanka :
Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ n,m}\) są sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych, to także \(\displaystyle{ n^2, 2n, nm}\) są sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych, Proszę o pomoc
Liczby całkowite
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 16 paź 2010, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 11 razy
Liczby całkowite
załóżmy
\(\displaystyle{ n=k^{2}+l^{2}}\)
\(\displaystyle{ m=x^{2}+y^{2}}\)
1) \(\displaystyle{ n^{2}= k^{4}+k^{2}l^{2}+k^{2}l^{2}+l^{4}=k^{2}(k^{2}+l^{2})+L^{2}(k^{2}+l^{2})=(kn)^{2}+(ln)^{2}}\)
2)\(\displaystyle{ 2n=2k^{2}+2l^{2}=2(k+l)^{2}-4kl=(k+l)^{2}+(k-l)^2}\)
\(\displaystyle{ n=k^{2}+l^{2}}\)
\(\displaystyle{ m=x^{2}+y^{2}}\)
1) \(\displaystyle{ n^{2}= k^{4}+k^{2}l^{2}+k^{2}l^{2}+l^{4}=k^{2}(k^{2}+l^{2})+L^{2}(k^{2}+l^{2})=(kn)^{2}+(ln)^{2}}\)
2)\(\displaystyle{ 2n=2k^{2}+2l^{2}=2(k+l)^{2}-4kl=(k+l)^{2}+(k-l)^2}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Liczby całkowite
Niech \(\displaystyle{ n=a^2+b^2, \quad m=c^2+d^2}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ n^2=(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2 \\
2n=2a^2+2b^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2 \\
m \cdot n = \bigl( a^2+b^2 \bigr) \bigl( c^2 + d^2 \bigr) = \bigl(ac-bd\bigr)^2+\bigl(bc+ad\bigr)^2}\).
\(\displaystyle{ n^2=(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2 \\
2n=2a^2+2b^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2 \\
m \cdot n = \bigl( a^2+b^2 \bigr) \bigl( c^2 + d^2 \bigr) = \bigl(ac-bd\bigr)^2+\bigl(bc+ad\bigr)^2}\).
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
Liczby całkowite
No generalnie magia... U Ciebie jest \(\displaystyle{ n=k^2+l^2=n^2}\). Uważaj na takie trywialne błędy ^^patryk_elk pisze:załóżmy
\(\displaystyle{ n=k^{2}+l^{2}}\)
\(\displaystyle{ m=x^{2}+y^{2}}\)
1) \(\displaystyle{ n^{2}= k^{4}+k^{2}l^{2}+k^{2}l^{2}+l^{4}=k^{2}(k^{2}+l^{2})+L^{2}(k^{2}+l^{2})=(kn)^{2}+(ln)^{2}}\)