Witam mam problem z takim zadaniem :
Znaleźć wszystkie naturalne liczby \(\displaystyle{ n,m}\) dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{n}{m} + \frac{m}{n}}\) jest naturalna. Proszę o pomoc i wyjaśnienie dokładne ewentualnego rozwiązania.
Liczby naturalne
Liczby naturalne
Ostatnio zmieniony 17 paź 2010, o 19:39 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Liczby naturalne
Niech \(\displaystyle{ (m,n) = d}\), podstawmy \(\displaystyle{ m = m'd \wedge n = n'd}\) gdzie \(\displaystyle{ (m',n')=1}\), wówczas naturalne ma być wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{m'}{n'}+\frac{n'}{m'} = \frac{m'^2+n'^2}{m'n'}}\)
Czyli w szczególności \(\displaystyle{ n' | m'^2 + n'^2 \Leftrightarrow n' | m'^2}\), ale skoro \(\displaystyle{ (m',n')=1}\) to musi być \(\displaystyle{ n'=1}\), analogicznie \(\displaystyle{ m'=1}\), czyli dane wyrażenie jest naturalne jedynie dla \(\displaystyle{ m=n}\)
Czyli w szczególności \(\displaystyle{ n' | m'^2 + n'^2 \Leftrightarrow n' | m'^2}\), ale skoro \(\displaystyle{ (m',n')=1}\) to musi być \(\displaystyle{ n'=1}\), analogicznie \(\displaystyle{ m'=1}\), czyli dane wyrażenie jest naturalne jedynie dla \(\displaystyle{ m=n}\)