Dowód podzileności dla każdej liczby naturalnej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
choko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Dowód podzileności dla każdej liczby naturalnej

Post autor: choko »

\(\displaystyle{ 9|4^{n}+15n-1}\)
\(\displaystyle{ 19|5^{2n-1}2^{n+1}+3^{n+1}2^{2n-1}}\)
Wiem że należy wykorzystać Zasadę indukcji matematycznej zupełnej, ale nie wychodzi mi mimo to.
Ostatnio zmieniony 17 paź 2010, o 19:20 przez choko, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Dowód podzileności dla każdej liczby naturalnej

Post autor: Dasio11 »

2.
Dowód (indukcją)

\(\displaystyle{ (1)}\) Sprawdzamy dla n=1:
\(\displaystyle{ 19 | 5^{2 \cdot 1-1} \cdot 2^{1+1} + 3^{1+1} \cdot 2^{2 \cdot 1 -1}=20+18=38}\) ok

\(\displaystyle{ (2)}\) Ustalmy \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 19 | 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}+3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}}\), tzn. \(\displaystyle{ 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}+3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}=19k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ 19 | 5^{2(n+1)-1} \cdot 2^{(n+1)+1}+3^{(n+1)+1} \cdot 2^{2(n+1)-1}}\):

\(\displaystyle{ 5^{2(n+1)-1} \cdot 2^{(n+1)+1}+3^{(n+1)+1} \cdot 2^{2(n+1)-1}=25 \cdot 5^{2n-1} \cdot 2 \cdot 2^{n+1}+3 \cdot 3^{n+1} \cdot 4 \cdot 2^{2n-1}=50 \cdot 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}+ 12 \cdot 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}= 38 \cdot 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 12 \cdot 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 12 \cdot 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1} = 19*(2 \cdot 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}) + 12 \cdot (5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}+3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}) \stackrel{\text{zal. ind.}}{=} 19(2 \cdot 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}) + 12 \cdot 19k = 19(2 \cdot 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 12k)}\)

czyli \(\displaystyle{ 19 | 5^{2(n+1)-1} \cdot 2^{(n+1)+1}+3^{(n+1)+1} \cdot 2^{2(n+1)-1}}\).

Z faktów \(\displaystyle{ (1)}\) i \(\displaystyle{ (2)}\), na mocy zasady indukcji matematycznej, teza jest spełniona.
choko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Dowód podzileności dla każdej liczby naturalnej

Post autor: choko »

Dzięki poprawiłem pierwsze, bo tam chyba należy zastosować inny trik?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Dowód podzileności dla każdej liczby naturalnej

Post autor: Dasio11 »

Napiszę tylko część właściwą drugiego kroku, resztę dopisz sam.

Niech \(\displaystyle{ 4^n+15n-1=9k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\). Wtedy
\(\displaystyle{ 4^{n+1}+15(n+1)-1=4 \cdot 4^n+60n-45n+15-4+3=4 \cdot 4^n+4 \cdot 15n-4 \cdot 1-45n+18=4 (4^n+15n-1)-45n+18=9(4k-5n+2)}\).
choko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Dowód podzileności dla każdej liczby naturalnej

Post autor: choko »

Spoko możesz jeszcze podpowiedzieć z tym \(\displaystyle{ 43|10^{n}+4^{n}-2}\). Staram się rozbić to jakoś , ale nic:(
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Dowód podzileności dla każdej liczby naturalnej

Post autor: Dasio11 »

Pokaż, jak próbujesz to zrobić.
ODPOWIEDZ