Rozwiązanie w liczbach pierwszych
Rozwiązanie w liczbach pierwszych
Witam mam problem z takim zadankiem : Rozwiąż równanie w liczbach pierwszych \(\displaystyle{ x^2-30y^2=1}\). Proszę o pomoc wraz z szczegółowym wyjaśnienie. Z góry dziękuję
Ostatnio zmieniony 17 paź 2010, o 12:52 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Rozwiązanie w liczbach pierwszych
Rozpatrując dane równanie \(\displaystyle{ \pmod{4}}\) widzimy, że musi być \(\displaystyle{ x^2+2y^2 \equiv 1\pmod{4}}\), ale resztami kwadratowymi \(\displaystyle{ \pmod{4}}\) są jedynie \(\displaystyle{ 0,1}\), więc może być jedynie \(\displaystyle{ x^2 \equiv 1\pmod{4} \wedge 2y^2 \equiv 0\pmod{4} \iff y \equiv 0\pmod{2}}\)
Ale \(\displaystyle{ y}\) jest pierwsze, więc może być jedynie \(\displaystyle{ y=2}\) skąd dostajemy \(\displaystyle{ x=11}\)
Ale \(\displaystyle{ y}\) jest pierwsze, więc może być jedynie \(\displaystyle{ y=2}\) skąd dostajemy \(\displaystyle{ x=11}\)