Rozwiązanie w liczbach pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
gelo21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 24 kwie 2009, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Rozwiązanie w liczbach pierwszych

Post autor: gelo21 »

Witam mam problem z takim zadankiem : Rozwiąż równanie w liczbach pierwszych \(\displaystyle{ x^2-30y^2=1}\). Proszę o pomoc wraz z szczegółowym wyjaśnienie. Z góry dziękuję
Ostatnio zmieniony 17 paź 2010, o 12:52 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Rozwiązanie w liczbach pierwszych

Post autor: Althorion »

\(\displaystyle{ x^2-30y^2=1 \\ (x-\sqrt{30}y)(x+\sqrt{30}y) = 1}\)
Pracuj nad tym, powinno być już wszystko widać.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Rozwiązanie w liczbach pierwszych

Post autor: Vax »

Rozpatrując dane równanie \(\displaystyle{ \pmod{4}}\) widzimy, że musi być \(\displaystyle{ x^2+2y^2 \equiv 1\pmod{4}}\), ale resztami kwadratowymi \(\displaystyle{ \pmod{4}}\) są jedynie \(\displaystyle{ 0,1}\), więc może być jedynie \(\displaystyle{ x^2 \equiv 1\pmod{4} \wedge 2y^2 \equiv 0\pmod{4} \iff y \equiv 0\pmod{2}}\)

Ale \(\displaystyle{ y}\) jest pierwsze, więc może być jedynie \(\displaystyle{ y=2}\) skąd dostajemy \(\displaystyle{ x=11}\)
ODPOWIEDZ