Zadanie z NWW i NWD

[BORG]

Znajdz liczby x i y takie, ze NWW(x,y)=630 i NWD(x,y)=18, wiedzac iz zadna z nich nie jest podzielnikiem drugiej.

[DEXiu]

Wskazówka: \(\displaystyle{ {NWW(x,y)}\cdot{NWD(x,y)}=xy}\)

[mol_ksiazkowy]

x=18a, y=18b, gdzie a i b sa wzglemnie pierwsze, ab=35, tj a=5, b=7

[Tristan]

mol_ksiazkowy - pominąłeś jedno rozwiązanie, tj. a=35,b=1.

[dabros]

tristan - nie masz racji, gdyz szukane liczby maja byc wzglednie pierwsze, a para 35 i 1 nie jest

[Tristan]

Drogi Dabrosie - skąd taki wniosek? Przecież \(\displaystyle{ NWD(35,1)=1}\), więc rzeczywiście liczby 35 i 1 są względnie pierwsze.

[mol_ksiazkowy]

zadna z nich nie jest podzielnikiem drugiej.

- dlatego odrzucamy ...czy tak..?!

[Tristan]

Nie doczytałem tego polecenia - przepraszam. Tak czy inaczej, argument Dabrosa jest zły.

[cacksucker]

x=ac
y=bc, c - NWD

abc-NWW

630=18ab
ab=35

jedna z nich ma nie dzielic drugiej, wiec a=5, b=7(lub na odwrot jak kto woli
x=90 , y=126

[KnifeParty]

A dlaczego liczby a i b muszą być względnie pierwsze?

Faktycznie, pasowałoby to do układu równań:

a - b = 2
ab = 35

Rozwiązaniem tego układu są a = 7 i b = 5.

Ale nurtuje mnie jedno - dlaczego a i b to liczby względnie pierwsze?

[Zahion]

Masz warunek, że \(\displaystyle{ NWD(x,y)=d}\) - oznacza to, że największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ x, y}\) jest równy \(\displaystyle{ d}\). Stąd istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a, b}\), że \(\displaystyle{ x=ad, y =bd}\) \(\displaystyle{ a, b \in C}\). No to teraz załóżmy, że liczby \(\displaystyle{ a, b}\) nie są względnie pierwsze, wtedy ich największy wspólny dzielnik oznaczmy jako \(\displaystyle{ m}\). Stąd \(\displaystyle{ NWD(a, b)=m}\). Więc analogicznie mamy dla pewnych \(\displaystyle{ p,q \in C}\), że \(\displaystyle{ a=pm, b=qm}\). Więc dalej
\(\displaystyle{ x = ad = pmd, y=bd= qmd}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ NWD(x,y)=md}\) , ale przecież \(\displaystyle{ NWD(x,y) = d}\) stąd \(\displaystyle{ md = d}\) czyli \(\displaystyle{ m=1}\) i \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\). Jest to dość intuicyjne, że skoro wyciągasz największy wspólny dzielnik dwóch liczb to nie mają już innego.

[Ponewor]

\(\displaystyle{ x = ad = pmd, y=bd= qmd}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ NWD(x,y)=md}\) , ale przecież \(\displaystyle{ NWD(x,y) = d}\) stąd \(\displaystyle{ md = d}\) czyli \(\displaystyle{ m=1}\) i \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\). Jest to dość intuicyjne, że skoro wyciągasz największy wspólny dzielnik dwóch liczb to nie mają już innego.

nie wynika Wyniknie tylko wtedy, gdy założysz tezę i przyjmiesz, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są względnie pierwsze. Wynika natomiast, że \(\displaystyle{ md}\) jest wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), czyli na mocy określenia \(\displaystyle{ NWD \left(x, y\right)}\) mamy, \(\displaystyle{ md \le d}\), a stąd \(\displaystyle{ m \le 1}\), czyli \(\displaystyle{ m=1}\) i rzeczywiście \(\displaystyle{ NWD \left(a, \ b \right)=1}\)

[KnifeParty]

Dziękuję, wszystko jasne