2 zadania na dowodzenie

[Kaka1210]

1. Wykaz ze jezeli x+y+z=0 to \(\displaystyle{ x^{3} + y^{3}+ z^{3} =3xyz}\)
2. Wykaz ze dla dowolnych liczb dodatnich x,y,z spelniona jest nierownosc
\(\displaystyle{ (x+y+z)( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ) \ge 9}\)

[cyberciq]

ad. 1
\(\displaystyle{ x+y+z=0 \\
x=-y-z \\
x ^{3}=(-y-z) ^{3} \\
x ^{3} =(-y) ^{3} -3y ^{2} z-3yz ^{2} -z ^{3} \\
x ^{3} +y ^{3} +z ^{3} =-3yz(y+z)\\
x ^{3} +y ^{3} +z ^{3}=-3yz(-x)\\
x ^{3} +y ^{3} +z ^{3}=3xyz}\)

[jackm41]

Ad.2

Najpierw wymnóżmy:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} \ge 6}\)

Skorzystam teraz z ciągów jednomonotonicznych. Niech \(\displaystyle{ x \ge y \ge z}\), w jakiej relacji muszą przecież być .
\(\displaystyle{ {x \ \ y \choose \frac{1}{y} \ \frac{1}{x} } \ge {x \ \ y \choose \frac{1}{x} \ \frac{1}{y} }}\)
Więc \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2 \\}\)
Analogicznie korzyystając z ciągów jednomonoton. można uzyskać takie nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \ge 2 \ \\ \ \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \ge 2.}\)
Dodając stronami te 3 nierówności otrzymujemy nierówność, która wyszła nam po wymnożeniu.

[smigol]

jackm41, proponuję nierówność \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+ \frac{y}{x} \ge 2}\) udowodnić za pomocą uogólnionej nierówności Carlemana.