Wykaż czy liczby są niewymierne lub wynierne

[choko]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}}\), \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{n}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - (\sqrt{n})}\). Te dwie ostatnie maja być niewymierne dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\).

[ares41]

\(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{n}= \sum_{k=0}^{n}\left[{n\choose k} \cdot (\sqrt{2})^{n-k} \cdot (-1)^k\right]={n\choose 0} \cdot (\sqrt{2})^{n}\cdot(-1)^0+
{n\choose 1} \cdot (\sqrt{2})^{n-1} \cdot (-1)^1+{n\choose 2} \cdot (\sqrt{2})^{n-2} \cdot (-1)^2+...+{n\choose n-1} \cdot (\sqrt{2})^{1} \cdot (-1)^{n-1}+{n\choose n} \cdot (\sqrt{2})^{0} \cdot (-1)^n}\)

Zwróć uwagę na to, że dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego pierwszy człon jest niewymierny, a dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego drugi człon jest niewymierny, więc cała suma jest niewymierna, dla każdego \(\displaystyle{ n \neq 0}\)

[choko]

Dzięki a może ktoś pomóc z przykładem pierwszym i trzecim? Pierwsze podnoszę do 3 potęgi i nic.

[Dasio11]

ares41, co z tego, że pierwszy/drugi człon jest niewymierny?

1.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}- \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\bigl(\sqrt{5}+1 \bigr)^3}- \frac{1}{2} \sqrt[3]{\bigl(\sqrt{5}-1 \bigr)^3}=1 \in \mathbb{Q}}\)

3.
Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \in \mathbb{Q}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\frac{ \bigl(\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \bigr) \bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \bigr)}{\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \bigr)}=\frac{1}{\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \bigr)} \in \mathbb{Q}}\),
czyli

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1}=\frac{\bigl(\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \bigr)+\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \bigr)}{2} \in \mathbb{Q} \\
\sqrt{n}=\frac{\bigl(\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \bigr) - \bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \bigr)}{2} \in \mathbb{Q}}\),

co jest niemożliwe, bo dwie kolejne liczby naturalne nie mogą jednocześnie być kwadratami liczb wymiernych (przyjmujemy, że \(\displaystyle{ 0 \not \in \mathbb{N}}\)).
Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \not \in \mathbb{Q}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\).

[ares41]

ares41, co z tego, że pierwszy/drugi człon jest niewymierny?

Jeżeli do liczby \(\displaystyle{ a}\) dodamy liczbę niewymierną \(\displaystyle{ b}\) to cała suma będzie niewymierna.

[Dasio11]

Tak? Niech \(\displaystyle{ a=3-\sqrt{2}, \quad b=\sqrt{2}}\). Wtedy \(\displaystyle{ a+b=3 \in \mathbb{Q}}\), choć \(\displaystyle{ b \not \in \mathbb{Q}}\) ;p

[ares41]

Zapomniałem dodać, że \(\displaystyle{ a}\) ma być wymierne.

[Dasio11]

W twoim przykładzie nie wiesz, czy cała reszta sumy jest wymierna.

[ares41]

Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych mamy, że pierwszy wyraz sumy to \(\displaystyle{ 2^p\sqrt{2}}\),\(\displaystyle{ p= \frac{n-1}{2}}\).
Aby całość była wymierna to liczba stojąca na przedostatniej pozycji (licząc od lewej) musi być równa
\(\displaystyle{ -2^p\sqrt{2}}\), co zgodnie z trójkątem Paskala jest niemożliwe.
Liczba stojąca na kolejnej (nieparzystej) pozycji musiałaby być liczbą przeciwną do liczby stojącej na kolejnej (licząc od prawej )pozycji parzystej, co zgodnie z trójkątem Paskala jest niemożliwe.
.....

Analogicznie dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych

[Dasio11]

Aby całość była wymierna to liczba stojąca na przedostatniej pozycji (licząc od lewej) musi być równa
\(\displaystyle{ -2^p\sqrt{2}}\), [...]

Hmmm... Dlaczego?

[ares41]

Bo wtedy zlikwidujesz niewymierności, tzn. jeśli liczb niewymiernych jest o jedną mniej od wymiernych to aby otrzymać liczbę wymierną najlepiej od całości odjąć wszystkie liczby niewymierne.

[Dasio11]

Wtedy zlikwidujesz - ale skąd wiesz, że w żadnym innym wypadku?
Ja bym to uargumentował tak:

\(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{n}= \sum_{k=0}^{n}\left[{n\choose k} \cdot (\sqrt{2})^{n-k} \cdot (-1)^k\right]}\).

Dla takich \(\displaystyle{ k \le n}\), że \(\displaystyle{ n-k}\) jest nieparzyste, \(\displaystyle{ (-1)^k}\) ma zawsze ten sam znak. Dla pozostałych \(\displaystyle{ k}\), składnik \(\displaystyle{ {n\choose k} \cdot (\sqrt{2})^{n-k} \cdot (-1)^k}\) jest wymierny. To oznacza, że ta suma wynosi \(\displaystyle{ A + B \sqrt{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in \mathbb{Q}}\) to suma wyrażeń wymiernych \(\displaystyle{ {n\choose k} \cdot (\sqrt{2})^{n-k} \cdot (-1)^k}\) po takich \(\displaystyle{ k}\), żeby \(\displaystyle{ n-k}\) było parzyste, zaś \(\displaystyle{ B \in \mathbb{Q}}\) to współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) po zsumowaniu wyrażeń \(\displaystyle{ {n\choose k} \cdot (\sqrt{2})^{n-k} \cdot (-1)^k}\) po pozostałych \(\displaystyle{ k}\). \(\displaystyle{ B \neq 0}\), bo wyrażenia tej postaci są niezerowe i mają ten sam znak, czyli ich suma też będzie niezerowa.

[ares41]

Może i masz rację, ale obaj nie zauważyliśmy, że z treści zadania wynika \(\displaystyle{ n \in R}\).

Te dwie ostatnie maja być niewymierne dla wszystkich n.

Zastanawiam się co zrobić w takiej sytuacji?

Czy dla \(\displaystyle{ n\in R}\) możliwe jest aby \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{n}\in \mathbb{Q}}\)

[Dasio11]

Chodzi o \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\).
Gdyby chodziło o \(\displaystyle{ n \in \mathbb{R}}\), wystarczyłoby wziąć np. \(\displaystyle{ n=\log_{\sqrt{2}-1}(7)}\) ;p

[ares41]

Albo np. \(\displaystyle{ n=0}\)