Wykaż że suma suma liczb jest większa od n

[Alison]

Wykaż, że:

\(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{ a_{2} } + \frac{ a_{2} }{ a_{3} } + \frac{ a_{3} }{ a_{4} } + ... + \frac{ a_{n-1} }{ a_{n} } + \frac{ a_{n} }{ a_{1} } > n}\)

Założenia:
\(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{n} \in R}\)
\(\displaystyle{ n>2}\)

[smigol]

Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ a_1=-1}\), \(\displaystyle{ a_2=a_3=...=a_n=1}\)

[Zordon]

Nierówność nie jest prawdziwa gdy wszystkie \(\displaystyle{ a_i}\) są równe. Jeśli tam miało być \(\displaystyle{ \geq n}\) i \(\displaystyle{ a_i\geq 0}\) to wystarczy zastosować nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną.

[Alison]

Ma być na pewno tak jak napisałam.
Nadal niezbyt rozumiem, możecie jaśniej?

[smigol]

Jeśli ma być tak jak napisałeś, to ta nierówność jest nieprawdziwa. Dwa kontrprzykłady masz podane nawet.

[Alison]

A jeżeli byłoby tak jak Zordon mówi to jak to dokładnie rozpisać z tymi średnimi?

[smigol]

Znajdź sobie nierówność między średnią arytmetyczną, a geometryczną w internecie/podręczniku. A następnie zastosuj ją dla \(\displaystyle{ x_1= \frac{a_1}{a_2},x_2= \frac{a_2}{a_3},...,x_n= \frac{a_n}{a_1}}\)